2015郑州高三一模数学理科试题及答案

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2015年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是(   )
A.             B.              C.         D. 
2. 在复平面内与复数 所对应的点关于虚轴对称的点为 ，则 对应的复数为（   ）
A.               B.                C.            D. 
3.等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 等于（   ）
A.                   B. 1                   C. 2               D. 
4. 命题 “ ”是命题 “直线 与直线 垂直”成立的（    ）
A. 充要条件   B. 充分非必要条件   C.必要非充分条件  D.既不充分也不必要条件
5. 已知点 是抛物线 上一点，焦点为 ， ，则 （    ）
A. 100                B.200                  C.360                D.400
6. 已知点 的坐标满足条件 ，那么点 到直线 的最小值为（   ）
A.                 B. 2                    C.                 D. 1
7. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 的最大值为（   ）
A. 32               B. 
C.64                D. 

8. 如图，函数 （其中 ）与坐标轴的三个交点 满足 ， 为线段 的中点，则 的值为（    ）
A.               B.  
C.               D. 
9. .如图所示的程序框图中，若 ，且 恒成立，则 的最大值是（    ）
A. 4                 B.3  
C. 1                 D. 0
10. 设函数 ，若实数 分别是 的零点，则（    ）
A.              B. 
C.              D. 
11. 在 中， ， 是斜边 上的两个动点，且 ，则 的取值范围为（    ）
A.                 B.                C.             D. 
12. 设函数 ，记
 … ， ，则（    ）
A.            B.               C.              D. 无法确定
第II卷
本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13. 已知等比数列 ，前 项和为 ， ，则            
14. 已知 ，在二项式 的展开式中， 的一次项系数的值为         
15. 设函数 的定义域为 ，若对于任意的 ，当 时，恒有 ，则称点 为函数 图象的对称中心.研究函数 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 …               
16.给定方程： ，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在 内有且只有一个实数根；④若 是方程的实数根，则 .
正确命题是            
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在 中， 分别为角 、 、 的对边， 为边 的中点，
（I）若 ，求 的值；（II）若 ，求 的面积.

18.(本小题满分12分)
某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为 ，背诵错误的的概率为 ，现记“该班级完成 首背诵后总得分为 ”.
（I） 求 且 的概率；
（II）记 ，求 的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， 底面 ， ， 为 的中点， 为棱 上一点.
（I）试确定点 的位置，使得 平面 ，并证明你的结论；
（II）若 ，求二面角 的余弦值.

20.（本小题满分12分）
已知动点 到定点 和直线 的距离之比为 ，设动点 的轨迹为曲线 ，过点 作垂直于 轴的直线与曲线 相交于 两点，直线 与曲线 交于 两点，与线段 相交于一点（与 不重合）
（I）求曲线 的方程；（II）当直线 与圆 相切时，四边形 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线 的方程；若没有，请说明理由.

22. （本小题满分12分）
已知函数 .
（I）当 时，求 在点 处的切线方程；
（II）当 时，设函数 ，且函数 有且仅有一个零点，若 ， ，求 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图所示， 交圆于 两点， 切圆于 ， 为 上一点且 ，连接 并延长交圆于点 ，作弦 垂直 ，垂足为 .
（I）求证： 为圆的直径；
（II）若 ，求弦 的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 和圆 交于 两点， 是圆 上不同于 的任意一点.
（I）求圆心的极坐标；（II）求 面积的最大值.

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围.

 
2015年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学   参考答案
一、选择题
1-12：BCDA  DBCC   BADA
二、填空题
13.       14.-10    15.82        16.2,3,4.
三、解答题
17.解：(Ⅰ)  ， ，
由余弦定理：
= ，………………………………2分
   ． ……………………………………………………………………4分
又  ，所以 ，
由正弦定理： ，
得 ．………………………………………6分
(Ⅱ) 以 为邻边作如图所示的平行四边形 ，如图，则 ，…………………8分
 在△BCE中，
由余弦定理： ．
即 ，
解得： 即 …………………10分
所以 .…………………………………………12分
18.解：(Ⅰ)当 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分
若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分
若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，
此时的概率为： ………… …………5分
（2）∵ 的取值为10，30，50，又 …………………6分
∴ ,
 
 …………………9分
∴ 的分布列为：
 
10 30 50
 
 
 
 

∴ .…………………………………………12分
19.解：（1）当 为 中点时， 平面 ，…………………2分
理由如下： 连结 交 于 ，连结 ，
因为 ， 为 的中点，所以 为 的中点．
当 为 的中点，即 时， 为 的中位线，…………4分
故 ，又 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………5分
（2）由题意，以点 为原点 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系，…………………6分
则 …………………7分
由 可得点 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ，则
令 ，…………………9分
同理平面 的法向量为 ,…………………10分
设二面角大小为 ， …………………………………………12分
20.解：(1).设点 ，由题意可得， ，…………………2分
整理可得： .曲线 的方程是 .………………………5分
(2).设 ， ，由已知可得：
当 时，不合题意. …………………6分
当 时，由直线 与圆 相切，可得： ，即
联立 消去 得 …………………8分
 ，
所以，
 =  = 10分
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，经检验可知，
直线 和直线 符合题意. ………………………………12分

21.解：（1）当 时， ,定义域为 ，
  …………………2分
 ，又  在 处的切线方程  ……………4分
（2）令 则 即 
 令 ， …………………5分
则  …………………6分
令 , ， ， 在 上是减函数，又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， .………8分
因为 ， 所以当函数 有且仅有一个零点时， .
当 ， ，若 只需证明
…………………9分
 ，令 得 或 ，又 ，
 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，10分
又   ，  
 
即  ，         ………12分
22．证明：(1)因为 ，所以 .
由于 为切线，故 ，…………………2分
又因为 ，所以 ，
所以 ，
从而 .…………………4分
又 所以 ，所以 ，
故 为圆的直径．…………………5分
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分
因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，…………………9分
所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以 .…………………10分
23.解：(Ⅰ)圆 的普通方程为 ，即 ………2分
所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为 ；…………………5分
(Ⅱ)直线 的普通方程： ，圆心到直线 的距离
 ，…………………7分
所以
点 直线 距离的最大值为 …………………9分
 .…………………10分
24.解：（Ⅰ）当 时， ………………………3分
由 易得不等式解集为 ；………………………5分
（2）由二次函数 ，该函数在 取得最小值2，
因为 在 处取得最大值 ，…………………7分
所以要使二次函数 与函数 的图象恒有公共点，只需 ，
即 .……………………………10分
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