以下2015上海市五校高三联考数学理试题及答案由出国留学网高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）
考生注意：
1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、
考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）
1．已知 为角 终边上的一点，则 ．
2．已知向量 ，若 ，则 ＝________．
3．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
4．已知幂函数 过点 ，则 的反函数为 ．
5．若无穷等比数列 满足： ，则首项 的取值范围为 ．
6．若直线 平分圆 的面积，则直线 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）
7．已知偶函数 在 上满足：当 且 时，总有 ，则不等式 的解集为 ．
8．如图所示为函数 ( )的部
分图象,其中 ，那么 ___________.
9. 已知函数 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 .
10. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 ，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则 ．
11. 在正 中， 是 上的点，若 ，则 ．
12．已知奇函数 是定义在 上的增函数，数列 是一个公差为2的等差数列，满足
，则 的值为 ．
13．过点 且方向向量为 的直线交双曲线 于 两点，记原点为 ， 的面积为 ，则 ____ ____．
14. 设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为1的等差数列，则 的最小值是____ ____．
二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）
15．已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知直线 和直线 ，则下述关于直线 关系的判断正确的是（ ）
A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直
C. 可能与 轴围成等腰直角三角形 D. 通过绕 上某点旋转可以重合
17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （其中 表示不大于 的最大整数）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
18. 设 ，定义运算“ ”和“ ”如下： ， ．若正数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）
19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．
在 中，角 的对边分别为 ，向量 ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求角 的大小及向量 在 方向上的投影．
20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆 长轴的一个端点是抛物线 的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 、 是椭圆 的左右端点， 为原点， 是椭圆 上异于 、 的任意一点，直线 、 分别交 轴于 、 ，问 是否为定值，说明理由．
21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分．
等差数列 的前 项和 ，数列 满足 ．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
① ； ② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）求数列 的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数 的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角 的三角恒等式，并证明你的结论．
22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
若函数 在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数”．
（1）已知函数 ，试判断 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设 是定义在 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围；
（3）若 为定义域 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围．[来源:
23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到 可得到“ 边形数列”，记它的第 项为 ．
1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28
（1）求使得 的最小 的取值；
（2）试推导 关于 、 的解析式；
（3）是否存在这样的“ 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）
一、填空题
1、 2、 3、
4、 5、 6、
7、 8、 9、
10、 11、 12、
13、 14、
二、选择题
15、 16、 17、 18、
三、简答题
19、（1）由 …3分
又 ，则 …6分
（2）由 …7分
又 …8分
由余弦定理，得 或 （舍） …10分
则 在 方向上的投影为 …12分
20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在 轴，且 ， …2分
又 ，所以
故椭圆 的标准方程为 ． …6分
（2）设 ，则 ，且
又直线 ，直线 …10分
令 ，得：
故 为定值. …14分
21、（1）当 时， …1分
当 时， …3分
∵当 时， 适合此式 ∴数列 的通项公式为 …5分
选择②，计算如下： …6分
＝
＝ ＝ …8分
（2）由（1）知， ，
因此推广的三角恒等式为 …10分
证明:
=
=
= ＝ …14分
22、（1） 为“局部奇函数”等价于关于 的方程 有解．
即 有解 …2分
因 ，得
为“局部奇函数”． …4分
（2）存在实数 满足 ，即 在 有解
令 ，
则 在 上有解 …7分
因为 在 上递减，在[1,2]上递增，
，故 …10分
（3）存在实数 满足 ，
即 在 有解
令 ，且
从而 （*）在 上有解 …12分
若 ，即 时，则方程（*）在 上有解
若 ，即 或 时，结合图像，方程（*）有解，则
综上，所求 的取值范围为 ． …16分
23、（1） …3分
由题意得 ,
所以，最小的 . …5分
（2）设 边形数列所对应的图形中第 层的点数为 ，则
从图中可以得出：后一层的点在 条边上增加了一点,两条边上的点数不变
则 ，
得 是首项为1公差为 的等差数列
则 .（或 等） … 12分
（3） …14分
显然 满足题意， …15分
而结论要对于任意的正整数 都成立，则 的判别式必须为零
所以 ，得
故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分
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