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云南省部分名校高2015届1月份统一考试
文科数学试卷
命题 昆明三中高三年级数学备课组
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B． C. D．
2.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在 上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
4.已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B. C. D.
5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为 时，则输入的 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论： o
① ＞ ；② ＜ ； ③ ，
其中所有的正确结论的序号是 （ ）.
A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
7.已知函数① ,② ,则下列结论正确的是( )
A．两个函数的图象均关于点 成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线 成轴对称图形
C．两个函数在区间 上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
8.已知 是 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在 内的概率是 （ ）
A. B. C. D.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A. B. C. D.
10.在 中，内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,且 , 则 等于（ ）
A. B. C. D.
11．定义在R上的函数 满足 ， ，且 时 ，则 = （ ）
A. B. C. D.
12.抛物线 （ ＞ ）的焦点为 ，已知点 、 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 ( )
A. B. 1 C. D. 2
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）
13.设 ，其中实数 满足 ， 则 的取值范围是_______.
14.已知圆 ,直线 上动点 ,过点 作圆 的一条切线,切点为 ,则 的最小值为_________.
15．观察下列等式： 根据上述规律，第 个等式为
16．表面积为 的球面上有四点 且 是等边三角形，球心 到平面 的距离为 ，若平面 平面 ,则棱锥 体积的最大值为 .
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 和通项 满足 ,数列 中， , .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足 ，求 的前 项和 .
18．（本小题满分12分）
云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中
的平均身高状况；
（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）
在全省前100名有2人，现从身高在182.5 cm以上
（含182.5 cm）的人中任意抽取2人，求该2人中
至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名
的概率
19．（本小题满分12分）
如图， 为圆 的直径，点 在圆 上，且 ∥ ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ,
（1）求证：平面 ⊥平面 ．
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ，并说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆 : 的离心率为 ，且过点 ，四边形 的顶点在椭圆 上，且对角线 过原点 ， 。
（1）求 的取值范围；
（2）求证：四边形 的面积为定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 在点 处的切线与 轴平行．
（1）求实数 的值及 的极值；
（2）如果对任意 ，有 ，求实数 的取值范围．
请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
选修4-4：坐标系与参数方程
23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，若以O为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线 的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线 的距离的最小值.
24. （本小题满分10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的定义域；
（Ⅱ）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围.
云南省部分名校高2015届1月份统一考试
文科数学答案
1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.A 12.A
13. 14. 2 15. 16.27
17.解.（Ⅰ）由 ，得
当 时，
即 （由题意可知 ）
是公比为 的等比数列，而
，
由 ，得
（2） ，设 ，则
由错位相减，化简得： （12分）
18．解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为
高于全市的平均值170.5（6分）
（II）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A,B,C,D,E，其中身高排名在全省前100名为A,B。设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A,
由列举法可知 （12分）
19． 解：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（6分）
（2）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN
则MN ，又AO ，则MN AO，
所以MNAO为平行四边形，（10分）
∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，
∴OM∥平面DAF． （12分）
20．解：（1）
当直线AB的斜率存在时，设
由
。………………..4分
。
………………..6分
，
所以 的范围是 。………………..8分
………………..10分
………………..12分
21.解：（1）
∵ 在点 处的切线与 轴平行∴
∴ ∴ ,
当 时， 当 时
∴ 在 上单调递增，在 单调递减，
故 在 处取得极大值1，无极小值
（2）由（1）的结论知， 在 上单调递减，不妨设 ，
则
函数 在 上单调递减，
又 ，
在 上恒成立， 在 上恒成立，
在 上 ，
23.解：（1）曲线C的直角坐标方程为：
即：
直线 的普通方程为 4分
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的 ，得
即
再将所得曲线向左平移1个单位，得 ：
又曲线 的参数方程为 （ 为参数），设曲线 上任一点
则 （其中 ）
点 到直线 的距离的最小值为 。
24.（Ⅰ）由 得， ，
∵其解集为 ，
∴ ，解得， ； ……………4分
（Ⅱ）由（1）知， ，
则不等式 为：
，
当 时，原不等式化为 ，则 ，
∴ ；
当 时，原不等式化为 ，则 ，
∴ ；
当 时，原不等式化为 ，则 ，
∴ ；
综上，不等式的解集是 。 …………………10分
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