高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案
一、问题导入，引发探究
师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图)，所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：
两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?
二、实验探究，交流发现
探究1：卵之由来——椭圆的形成
(1) 单个定椭圆的形成
椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )，则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)
思考1：如何使 为定值?
(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段 的延长线上取点 ，使得 ，此时， 为定值则可转化为 为定值。)
思考2：若 为定值，则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?
(以定点 为圆心， 为半径的圆。由于 > ，则点 在圆内。)
思考3：如何确定点 的位置，使得 ，且 ?
(线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)
揭示思路来源：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么?为什么?
(设圆 的半径为 ，由椭圆定义， (常数)，且 ，所以当点 在圆周上运动时，点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)
图形计算器作图验证：以圆 与定点 所在直线为 轴， 中垂线为 轴建立直角坐标系，设圆半径 ， ，即圆 ，点 ，则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆，椭圆方程 为 。
(2) 单个动椭圆的形成
思考4：构造一种动椭圆的方式
(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长 为定值，则 也要为定值，因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上，当点 在圆 上动时，即可得到动椭圆。)
图形计算器作图验证：当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，运动点 ，即得到动椭圆。
(3) 两个椭圆的形成
观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称，且直线 过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。
因而找到公切线 ，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。
探究2：卵之所依——切线的判断与证明
线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系
(1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ，则线段 的中垂线 的方程为 ，将动点 的横坐标保存为变量 ，纵坐标保存为变量 ，随着 点的改变，在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点，拖动点 ，动态观测交点个数的变化，发现无论点 在何处，动直线 与椭圆只有唯一一个交点 ，因此判断直线 与椭圆相切，并可求出该切点 的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve()求出方程组的解，从而判断根的情况.
(2) 证明椭圆 与直线 相切.
不妨设直线 ： ，其中 ， ，与椭圆方程联立 ，得 ，因此
，
将 ， ， 代入上式，用“代数”工具中的expand()化简式子，得 ，所以椭圆与直线 相切，切点为 .
(3) 证明由任意圆 上的动点 和圆内一点 确定的椭圆 与线段 中垂线 均相切(反证法)
因为椭圆 是点 的轨迹，而点 是直线 与线段 中垂线 的交点，所以点 既在椭圆 上，也在直线 上。因此，直线 与椭圆至少有一个公共点，即直线 与椭圆相切或相交。
假设直线 与椭圆相交，设另一个交点为 ( 与 不重合).因为 ，所以 ;又因为 ，
所以 为定值，而 ，矛盾.因此直线 与椭圆相切。
探究3：两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画
当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 ，运动点 ，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。
改变一些问题条件，进行深入探究与发现。
探究4：改变 点位置，探究点 轨迹
(1) 曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点 ，当点 在定圆 内且不与圆心 重合时，交点 的轨迹是椭圆;当点 在定圆 外时，则 ，交点 的轨迹是双曲线;当点 与圆心 重合时，点 的轨迹是圆 的同心圆;当点 在圆周上时，点 的轨迹是是一点(圆心 ).
(2) 方程证明：圆 ，设点 ，可解得点 的轨迹方程为
，
当 或 时，点 的轨迹为圆心 ;
当 且 时，点 的轨迹方程为
，
当 时，点 的轨迹为圆: ;
当 且 时，点 的轨迹为椭圆;
当 或 时，点 的轨迹为双曲线。
探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形
查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。
结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。
探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用
性质1： 是椭圆的两个焦点，若点 是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则 点的切线平分 的外角。
性质1′： 点处的法线(过 点且垂直于切线)平分 。(即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)
课后探究：阅读数学选修2-1 P75 阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。
练习1：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，过焦点 向 作垂线，垂足为 ，则点 的轨迹是_____________，轨迹方程是_______________。
解：(1) 直观判断：作轨迹
(2) 严谨证明：圆的定义
由此得到：
性质2： 是椭圆的两个焦点， 是长轴的两个端点，过椭圆上异于 的任一点 的切线，过 做切线的垂线，垂足分别为 ，则 在以长轴为直径的圆上。
练习2：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，直线 与椭圆相切与点 ，且 到 的垂线长分别为 ，求证： 为定值。
解：(1) 直观判断：作图
(2) 严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，
由此得到：
性质3：已知椭圆为 ，则焦点 到椭圆任一切线的垂线长乘积等于 。
课后探究2：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，直线 过点 ，且 到 的垂线长分别为 ，则
① 当 时，直线 与椭圆的位置关系;(相交)
② 当 时，直线 与椭圆的位置关系。(相离)
(类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法)
课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质?