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2019年中考数学练习题：代数、三角、几何综合问题
概述：
代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题.
典型例题精析
例1.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2.
(1)当x=0时(如图)，S=________;当x=10时，S=___________;
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1.已知抛物线y=-x2+(k+1)x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小.
(1)求k的值及抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标;
(4)设点G(0，m)是y轴上的动点.
①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线?并求出此时直线BG的解析式.
②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方?
2.如图，已知圆心A(0，3)，⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N.
(1)若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;
(2)若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明;
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来;若不存在，说明理由.
3.如图，已知直线L与⊙O相交于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线L于点D.
(1)若AP=4，求线段PC的长;
(2)若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积.(答案要求保留根号)
考前热身训练
1.如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)，当∠MAN为以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x，ON=y(y>x≥0)，△AOM的面积为S，若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.
(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离;
(2)求证：AN2=ON·MN;
(3)求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围;
(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围.
2.如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)，且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C.
(1)求证：PC是⊙M的切线;
(2)在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点?若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由;
(3)画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切，且与直线PC相切于D，问将过A、C、B三点的抛物线平移后，能否同时经过P、D、A三点?为什么?
2019年中考数学练习题：统计与概率
一、知识归纳与例题讲解：
1、总体，个体，样本和样本容量。注意“考查对象”是所要研究的数据。
例1：为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是( )
(A)7000名学生是总体 (B)每个学生是个体
(C)500名学生是所抽取的一个样本 (D)样本容量是500
例2：某市今年有9068名初中毕业生参加升学考试，从中抽出300名考生的成绩进行分析。在这个问题中，总体是__________________________;个体是___ ________;样本是_______________________;样本容量是__________.
2、中位数，众数，平均数，加权平均数，注意区分这些概念。
>>>在线下载2019年中考数学练习题：统计与概率 相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势的。
不同点：中位数——中间位置上的数据(当然要先按大小排列)
众数——出现的次数多的数据。
例3：某校篮球代表队中，5名队员的身高如下(单位：厘米)：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为( )
(A)183 (B)182 (C)181 (D)180
例4：已知一组数据为3，12，4，x，9，5，6，7，8的平均数为7，则x=
例5：某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩(单位：个)如下：
6 9 11 13 11 7 10 8 12
这组男生成绩的众数是____________，中位数是_________。
3、方差，标准差与极差。方差：顾名思义是“差的平方”，因有多个“差的平方”，所以要求平均数，弄清是“数据与平均数差的平方的平均数”，标准差是它的算术平方根。 会用计算器计算标准差与方差。
例6：数据90，91，92，93的标准差是( )
(A) (B)4(5) (C)4(5) (D)2(5)
例7：甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x=8，方差S2乙=0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是( )
(A)甲的射击成绩较稳定 (B)乙的射击成绩较稳定
(C)甲、乙的射击成绩同样稳定 (D)甲、乙的射击成绩无法比较
例8：一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差、标准差和极差(标准差保留两个有效数字)
4、频数，频率，频率分布，常用的统计图表。
例9：第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师，那么这个小组的频率是( )
(A)0.12 (B)0.38 (C)0.32 (D)3.12
例10：如图是某校初一年学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出步行人数占总人数的( )
A.60%; B.50%;
C.30%; D.20%.
例11：在市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加白云山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图(部分)如下：
(1)根据图①提供的信息补全图②;
(2)参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多?
(3)根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想.(不超过30字)
5、确定事件(分为必然事件、不可能事件)、不确定事件(称为随机事件或可能事件)、概率。并能用树状图和列表法计算概率;
例12：下列事件中，属于必然事件的是( )
A、明天我市下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上
C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
例13：用列表的方法求下列概率：已知，.求的值为7的概率.
例14：画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，任取一个，放回后再任取一个.画树状图或列表求下列事件的概率.
(1)都是红色 (2)颜色相同 (3)没有白色
6、统计和概率的知识和观念在实际中的应用。能解决一些简单的实际问题。
例15：下列抽样调查：
①某环保网站就“是否支持使用可回收塑料购物袋”进行网上调查;
②某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的定价接受程度;
③为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车检查一辆;
④为了解《中考指要》在学生复习用书中受欢迎的程度，随机抽取几个学校的初三年级中的几个班级作调查.
其中选取样本的方法合适的有：( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例16：某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。收获时，先随机采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下(单位：kg)：35，35，34，39，37。
⑴试估计这一年该农户脐膛橙的总产量约是多少?
⑵若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少?
⑶已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率。
二、达标训练
(一) 选择题
1、计算机上，为了让使用者清楚、直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图是( )
A 条形统计图 B 折线统计图
C 扇形统计图 D 条形统计图或折线统计图
2、 小明把自己一周的支出情况，用右图所示的统计图来表示，下面说法正确的是 ( )
A.从图中可以直接看出具体消费数额
B.从图中可以直接看出总消费数额
C.从图中可以直接看出各项消费数额占总消费额的百分比
D.从图中可以直接看出各项消费数额在一周中的具体变化情况3、下列事件是随机事件的是( )
(A)两个奇数之和为偶数， (B)三条线段围成一个三角形
(C)广州市在八月份下了雪， (D)太阳从东方升起。
4、下列调查方式合适的是 ( )
A.为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B.为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
D.对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
5、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为( )
A、②③ B、②④ C、③④ D、①③
6、甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率( )
(A)9(2) (B)3(1) (C)9(4) (D)以上都不对
7、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是( )
(A)10(1) (B)5(1) (C)5(2) (D)以上都不对
(二) 填空题
1、在一个班级50名学生中，30名男生的平均身高是1.60米，20名女生的平均身高是1.50米，那么这个班学生的平均身高是________米.
2、已知一个样本为1，2，2，-3，3，那么样本的方差是_______;标准差是_________.
3、将一批数据分成五组，列出频数分布表，第一组频率为0.2，第四组与第二组的频率之和为0.5，那么第三、五组频率之和为_________.
4、已知数据x1,x2,x3的平均数是m，那么数据3x1+7，3x2+7，3x3+7的平均数等于_________.
5、 装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为 与
6、 有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P(A)=
7、 某名牌衬衫抽检结果如下表：
2019年中考数学练习题：平行线与三角形复习材料
一、相关知识点复习：
(一)平行线
1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.判定：
(1)同位角相等，两直线平行。
(2)内错角相等，两直线平行。
(3)同旁内角相等，两直线平行。
(4)垂直于同一直线的两直线平行。
>>>在线下载2019年中考数学练习题：平行线与三角形复习材料 3.性质：
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3)两直线平行，同位角相等。
(4)两直线平行，内错角相等。
(5)两直线平行，同旁内角互补。
(二)三角形
4.一般三角形的性质
(1)角与角的关系：
三个内角的和等于180°;
一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：
三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：
在一个三角形中，等边对等角;等角对等边。
(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：
名称 基本性质
角平分线 ①三角形三条内角平分线相交于一点(内心);内心到三角形三边距离相等;
②角平分线上任一点到角的两边距离相等。
中线 三角形的三条中线相交于一点。
高 三角形的三条高相交于一点。
边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心);
外心到三角形三个顶点的距离相等。
中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
5.几种特殊三角形的特殊性质
(1)等腰三角形的特殊性质：
①等腰三角形的两个底角相等;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
(2)等边三角形的特殊性质：
①等边三角形每个内角都等于60°;
②等边三角形外心、内心合一。
(3)直角三角形的特殊性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角;
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和
(其逆命题也成立);
④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半;
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6.三角形的面积
(1)一般三角形：S △ = a h( h 是a边上的高 )
(2)直角三角形：S △ = a b = c h(a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高)
(3)等边三角形： S △ = a 2( a是边长 )
(4)等底等高的三角形面积相等;等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比;等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。
7.相似三角形
(1)相似三角形的判别方法：
①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似;
②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似;
③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(2)相似三角形的性质：
①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;
②相似三角形的周长比等于相似比;
③相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS;
②直角三角形还有HL
二、巩固练习：
一、选择题：
1.如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A+∠E=( )
A.20º B.30º C.40º D.60º
2.如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是( )
A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠B=∠D D.∠3=∠4
3.如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是( )
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定
4.如图，下列判断正确的是( )
A.∠1和∠5是同位角; B.∠2和∠6是同位角;
C.∠3和∠5是内错角; D.∠3和∠6是内错角.
5.下列命题正确的是( )
A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;
B.两直线与第三条直线相交，内错角相等;
C.两直线平行，内错角相等;
D.两直线平行，同旁内角相等。
6.如图，若AB∥CD，则( )
A.∠1 = ∠4 B.∠3 = ∠5
C.∠4 = ∠5 D.∠3 = ∠4
7.如图， l1∥l2，则α= ( )
A.50° B.80°
C.85° D.95°
8.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm
C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm
9.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A.150° B.80° C.50°或80° D.70°
10.如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外，
连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形
共有( )对
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11.三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形?( )
A. a = 3，b = 2，c = 4 B. a = 15，b = 12，c = 9
C. a = 9，b = 8，c = 11 D. a = 7，b = 7，c = 4
12.如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm，
AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是( )
A. B. C. D.2
13.下列结论中，不正确的是( )
A.有一个锐角相等的两个直角三角形相似;
B.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似;
C.各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似;
D.各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。
二、填空题：
14.如图，直线a∥b，若∠1 = 50°，
则∠2 = 。
15.如图，AB∥CD，∠1 = 40°，
则∠2 = 。
16.如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，
若∠ADE = 80°，则∠1 = .
17.如图， l1∥l2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，
则∠α = .
18.△ABC中，BC = 12cm，BC边上的高
AD = 6cm，则△ABC的面积为 。
19.如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，
那么x的取值范围是 。
20.在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。
21.在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。
22.已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 。
23.等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是 。
24.在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 。
25.已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 。
26.等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为 。
27.如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子
测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他
想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的
点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长
为15m，则A、B两点间的距离为__________.
28.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，
∠B=∠E.要使△ABC≌△DEF，需要补充的
是一个条件： 。
29.太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时
量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 。
三、解答题：
30.如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点
求证： ∠1 = ∠2
31.如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F
求证：BE = CF
32.如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。求BD的长。
33.已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，
求证：AB=AC
34.*一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。
(1)根据题意，画出示意图;
(2)求河宽。
练习答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C
9、C 10、C 11、B 12、B 13、B
二、填空题
14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm2
19、1
24、6或 25、22或26 26、120° 27、30m
28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m
三、证明题
30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2
31、△BED≌△CFD→BE=CF
32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10
33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC
34、
解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点，
交AB于M点，且AB=20m，
CD=50m， PM=25m，
AB∥CD→△PAB∽△PCD→
→ →PN=62.5→MN=37.5
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