2012高考数学专项训练 集合难点分析

　　一、知识结构

　　本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明.然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子.

　　二、重点难点分析

　　这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法.

　　1.关于牵头图和引言分析

　　章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中重要的基础.

　　2.关于集合的概念分析

　　点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.

　　初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.”这句话，只是对集合概念的描述性说明.

　　我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界.

　　3.关于自然数集的分析

　　教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意.

　　新的国家标准定义自然数集n含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织(iso)制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数{0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 .因此要注意几下几点：

　　(1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0;

　　(2)自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集z、有理数集q、实数集r}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ;

　　(3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用.

　　4.关于集合中的元素的三个特性分析

　　集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。

　　集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示.如果a是集合a的元素，就说a属于集合a，记作 ;否则，就说a不属于a，记作

　　要正确认识集合中元素的特性：

　　(l)确定性： 和 ，二者必居其一.

　　集合中的元素必须是确定的.这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合.

　　(2)互异性：若 ， ，则

　　集合中的元素是互异的.这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个.例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为{1｝，而不能记为{1，1｝.

　　(3)无序性：{a，b｝和{b，a｝表示同一个集合.

　　集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点(l，0)和点(0，l)表示不同的两个点，而集合{1，0｝和{0，1｝表示同一个集合.

　　5.要辩证理解集合和元素这两个概念

　　(1)集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系.例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的.

　　(2)一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象.例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”……

　　(3)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.

　　6.表示集合的方法所依据的国家标准

　　本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定.

此外， 有时也可写成 或

7．集合的表示方法分析

　　集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．

　　（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为：

　　 ①列举法： ；

　　 ②描述法： ；

　　 ③图示法：如图1。

　　 （2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：

　　 ①描述法： ；

　　 ②图示法：如图2．

　　 （3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：

　　 ①集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即 ；

　　 ②集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；

　　 ③集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合；

　　 ④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．

　　实际上，这是四个完全不同的集合．

　　列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．

        8．集合的分类

　　含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．

　　含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．

          9．关于空集分析

　　 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．