分式的意义和性质
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷
B可以表示成
的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子 就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式 的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3、（1）分式： 
，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：
，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：
时，分式的值为零。
（4）分式： ，当 
时，分式的值为
（5）分式： ，当 
时，即 
或
时， 为正数。
（6）分式：
时，即 
或 
时， 为负数。
（7）分式： ，当 
时 或 
为非负数。
二、分式的基本性质：
1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：
（M为不等于零的整式）
3、学习基本性质应注意几点：
（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易范错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：
，
。
三、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：
（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
四、例题分析
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）
（2） 
（3） 
（4）
（5） 
a2- 
a （6） 
。
解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（
4）、（5）、（6）是整式。 说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。
这里 
是分式，不能因为
= 
=a+b，而认为
是整式，a+b是分式 的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。
另外
是整式而不是分式。虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此
的除式中不含字母。
例2，在分式（1） 
（2） 
中，字母x的值有什么限制？
解：（1）在
（2）在 
中，当x=-2
（3）在 中，当x=-2或
∴x≠-2且x≠3。
例3，x为何值时，分式
，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。
解：（1）∵当分母2x+3=0时分式无意义，∴x=- 
时，分式无意义。
（2）∵当 
，∴x=1时分式值为零。
（3）∵当 
（4）∵当 
或
时，分式值为非负数。
∴ 
或 
∴ x≥1
时分式值为非负数。
例4，当x取何值时，分式 
（1）值为零；（2
解：（1）∵当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴当x≠-3且x≠1
时分式有意义。又∵6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。
∴
， ∴x=3时分式值为零。
解：（2）∵(x+3)(x-1)=0分式无意义，
即
x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1时分式无意义。说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。
对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵(x+3)(x-1)≠0
时分式有意义。即x+3≠0且x-1≠0时，∴x≠-3且x≠
1时分式有意义，说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0
，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。例5，写出等式中未知的分子或分母：
（1
）
； （2） 
； （3） 
；
（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：
，∴未知的分子是(x-y)2,
（2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。
解：
= 
，未知的分母是b。
（3）∵a2+ab=a(a+b)
（将分子因式分解） ∴ 
（比较分子，发现分子、分母同乘以a）
= 
，2ab
例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
（1） 
； （2） 
（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。
解： = 
（2）解： = 
= 
注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)
×10=2a+3b这样的错误。 例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）- 
；（2）-
。
解：根据分式的符号法则得：
（1）- = 
； （2
=- 
。
注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。
例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。 （1） 
；（2）
。
解：（1） = 
= 
= 
（2）- =- 
=- 
=- 
。
注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：
= 
。
例9，约分：（1） 
。
解：（1） = 
=
=-3yz10。
注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式 
时千万不要犯下列错误：
=
=0。
（2） = 
= 
=- 
。
注意：分母的负号一般要移去。
（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。
例10、约分：（1） 
；（3）
； （4） 
； （5） 
。
解：（1） =
。
注意：不要把 约成 = 
，也不要将最后结果写成
，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。
（2） = 
。
注：不要将 约做 
，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。
（
3） = 
= 
=x2+1。
注：不要犯下面的错误： =x3-x2
（4） = 
= 
= 
=-
。
注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。
（5） = 
= 
（分子提取公因式-1）
= 
（分子、分母都分解因式）
（约去公因式：x-1）
=- 
（应用分式的符号法则）
说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。
分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。
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