一元二次方程
【课标要求】
考点
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课标要求
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知识与技能目标
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了解
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理解
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掌握
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灵活应用
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一元二次方程
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了解一元二次方程的定义
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掌握一元二次方程的四种解法,并能灵活运用
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掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解相应问题
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掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它们解决有关问题
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会解一元二次方程应用题
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【知识梳理】
1.灵活运用四种解法解一元二次方程:一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四种解法:直接开平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法:
x= (b2-4ac≥0)
注意:掌握一元二次方程求根公式的推导;主要数学方法有:配方法,换元法,“消元”与“降次”。
2.根的判别式及应用(△=b2-4ac):
(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
3.根与系数的关系(韦达定理)的应用:韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=—,x1·x2=。
(1)已知一根求另一根及未知系数;
(2)求与方程的根有关的代数式的值;
(3)已知两根求作方程;
(4)已知两数的和与积,求这两个数;
(5)确定根的符号:(x1,x2是方程两根)。
应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2,两根之积x1x2的代数式的形式,整体代入。
4.一元二次方程的应用:解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程。最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义。
【能力训练】
一、选择题
1、关于的一元二次方程的一个根是0,则的值为( )
A、 B、 C、或 D、
2、关于的方程的根的情况是( )
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、无实数根 D、不能确定
3、如果关于的方程的两个实数根互为倒数,那么的值为( )
A、 B、 C、 D、
4、已知关于的方程有实数根,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,这两年平均绿地面积的增长率是( )
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( )
A、 B、3 C、6 D、9
7、如果是一元二次方程的一个根,是一元二次方程的一个根,那么的值是( )
A、1或2 B、0或 C、或 D、0或3
8、若一元二次方程的两根、满足下列关系:,,则这个一元二次方程为( )
A、 B、
C、 D、
二、填空题
9、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零,该方程可以是_____________。
10、写出一个一元二次方程,使它没有实数解,该方程可以是_________。
11、写出一个一元二次方程,使它的两实数根之和为3,该方程可以是_____________。
12、写出一个既能直接开方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
三、解下列方程
13、
14、
四、解答题
15、制造一种产品,原来每件的成本是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使第二个月的销售利润达到原来的水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?
16、如图所示,四边形是矩形,,。动点P、Q分别同时从A、C出发,点P以3cm/s的速度向D移动,直到D为止,Q以2cm/s的速度向B移动。
⑴P、Q两点从出发开始几秒后,四边形ABQP的面积是矩形面积的?何时四边形ABQP的面积最大,最大是多少?
⑵P、Q从开始出发几秒后,?
17、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根,问与能否同号?若能同号,请求出相应的的值的范围;若不能同号,请说明理由。
18、如图,有矩形地ABCD一块,要在中央修建一矩形花圃EFGH,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽?
参考答案:
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、B 7、D 8、B 9、答案不惟一, 10、答案不惟一, 11、答案不惟一, 12、答案不惟一, 13、, 14、
15、设平均每月应降低,则,,(不合题意,舍去)
16、⑴秒,当出发后,面积最大为64平方厘米 ⑵0.8秒
17、当且时,、同号,因为。故只需保证,且即可,,。
18、设道路的宽为,,,则,,由于(不合,舍去)故。具体做法是:用绳量出,再减去之长,将余下的对折两次,即得道路的宽。
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