高等数学课件10篇

　　你可能会喜欢这本高等数学课件。教案课件是我们老师的部分工作，只要我们老师在写的时候认真负责就可以了。教案是加强师生互动的重要方式。希望您阅读后有所收获！

高等数学课件 篇1

　　第二讲(4课时)Ⅰ.授课题目（章节）

　　§1.2 数列的极限 §1.3 函数的极限 Ⅱ.教学目的与要求

　　1.理解数列极限与函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的N,,X定义中的,N,,X的含义

　　2.理解极限的性质 Ⅲ.教学重点与难点：

　　重点：数列极限与函数极限的概念 难点：极限的定义 Ⅳ.讲授内容：

　　§1.1数列极限的定义 一． 列极限的定义

　　定义：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时,不等式xna都成立,那么就常数a是数列xn的极限,或者称数列xn收敛与a,记为limxnna或xna(n).如果不存在这样的常数a,就说数列xn没有极限,或者说数列xn是 发散的,习惯上也说lim存在.143n(1)例1.证明数列2，，,234nn1xnn不,的极限是1.证:xna1n1n1n(1)nn111n,为了使xna小于任意给定的正数,只要或.所以,n(1)10,取N,则当n>N时,就有

　　nn1

　　n例2.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限是0.证:0（设,1),因为

　　xn0qn10qn1,要使xn0,只要qn1取自

　　lnlnq然对

　　数,得(n1)lnqln.因q1,lnq0,故n1,取N1ln,则当nN时,lnq就有qn10,即limqn10.n

　　二． 敛数列的性质

　　定理1（极限的唯一性）：如果xn收敛，则它的极限唯一

　　证明 用反证法.假设同时有xna及xnb,且ab.取limxna,故正整数N1,当nN1时,不等式xnanab2.因为

　　ba2都成立.同理,因为

　　ba2limxnb,故正整数N2,当nN2时,不等式xnbn都成立.取NmaxN1,N2(这式子表示N是N1和N2中较大的那个数),则当nN时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有xn这矛盾证明了本定理的断言.数列的有界性概念

　　ab2,由(3)式有xnab2，这是不可能的.定义：对于数列xn,如果存在着正数M ,使得对于一切xn都满足不等式xnM,则称数列xn是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列xn是无界的.定理2（收敛数列的有界性）如果xn收敛，则数列xn一定有界 定理3：（收敛数列的保号性）

　　如果limxna且a>0（或a0，当n>N时，都有xn>0（或xn

　　n推论：如果xn从某项起有xn0（或xn0）且limxna,则a0(或a0)

　　n子数列的概念：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列(或子列).设在数列xn中,第一次抽取xn,第二次在xn后抽取xn,第三次在xn后抽取

　　1122xn3,这样无休止地抽取下去,得到一个数列xn,xn,xn,,这个数列xn就是

　　12kxn的一个子数列.定理4.（收敛数列与其子数列间的关系）

　　如果xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a §1.3 函数的极限

　　一、函数极限的定义

　　1.自变量趋于有限值时函数的极限

　　定义1：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式0xx0时,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)A,那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限,记作limf(x)A或f(x)A(当xx0).xx0例1.证明limx1x12x12

　　证明:这里,函数在点x=1是没有定义的饿，但是函数当x1是的极限存在或不存在与它并无关系.事实上,0,不等式x1x12约去非零因子x-1，就化为

　　x12x1，因此，只要取，那么当0x1时，就有

　　x1x12 2

　　所以 limx1x12x12 单侧极限的概念：上述xx0时函数f(x)的极限概念中，x是既从x0的左侧也从x0的右侧趋于x0的.但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0(记作xx0)的情形,或x仅从x0的右侧趋于x0(记作xx0)的情形.在xx0的情形,x在x0的左侧,xx0.在limf(x)A的定义中,把0xx0改为x0xx0,那么xx0A就叫做函数f(x)当xx0时的左极限,记作limf(x)A或f(x0)A.xx0类似的,在limf(x)A的定义中,把0xx0改为x0xx0,那么A就xx0叫做函数f(x)当xx0时的右极限,记作limf(x)A或f(x0)A.xx0右极限与左极限统称为单侧极限.解:仿例3可证当x0时f(x)的左极限limf(x)lim(x1)1

　　xx0x0而右极限limf(x)lim(x1)1, xx0x0因为左极限和右极限存在但不相等,所以limf(x)不存在.x0

　　2.自变量趋于无穷大时函数的极限

　　定义2：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式xX时,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)A,那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限,记作limf(x)A或f(x)A（当x）.x定义2可简单地表达为:limf(x)A0,X0,当xX时有

　　xf(x)A.例3:证明lim1xx0.证：0,要证X0，当xX时，不等式1x1x0成立.因这个不等式相当于或x1

　　由此可知,如果取X1,那么当xX1x1时,不等式1x0成立.这就证明了limx0.一． 数极限的性质：

　　定理1（函数极限的唯一性）：如果limf(x)存在，则这极限必唯一

　　xx0定理2（函数极限的局部有界性）:如果limf(x)A,那么存在常数M>0和0,xx0使得当0xx0时，有f（x）M.证:因为limf(x)=A,所以取=1,则0,当0xx0时,有xx0f（x）A1f(x)f(x)AAA1, 记MA1,则定理2就获证明.定理3（函数极限的局部保号性）:如果limf(x)A,而且A0(或A0),那么存

　　xx0在常数0,使得当0xx0时,有f(x)（或0f（x）0).如果limf(x)=A，而且A>0（或A0，使得当0xx0时，xx0有f(x)>0(或f(x)

　　xx0A0(或A0), 定理4（函数极限与数列极限的关系）

　　如果极限limf(x)存在，xn为函数f(x)的定义域内任意收敛于x0的数列，且满xx0足：xnx(nN)，那么相应的函数列f(xn)必收敛，且limf(xn)limf(x)

　　0nxx0Ⅴ.小结与提问：

　　小结：极限定义是本讲的难点，必须结合极限的直观描述和集合解释弄懂其本质。要逐步掌握放大法的技巧。提问：

　　思考题1：数列xn是否可以同时以A和B（AB）为其极限？

　　思考题2：如果数列xn与ixnj为数列xn的两个子列，nlimxniA,limxnjB且AB，能否判定limxn不存在？

　　jxjn思考题3：如果x2n和x2n1都以A为极限，是否必定有limxnA

　　nⅥ.课外作业：

　　P30 2.3（2）（3）.4.5 P37 1（1）（4）2（1）3.4.6

　　设

高等数学课件 篇2

　　口诀1：函数概念五要素，定义关系最核心。

　　口诀2：分段函数分段点，左右运算要先行。

　　口诀3：变限积分是函数，遇到之后先求导。

　　口诀4：奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。

　　口诀5：单调增加与减少，先算导数正与负。

　　口诀6：正反函数连续用，最后只留原变量。

　　口诀7：一步不行接力棒，最终处理见分晓。

　　口诀8：极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。

　　口诀9：幂指函数最复杂，指数对数一起上。

　　口诀10：待定极限七类型，分层处理洛必达。

　　口诀11：数列极限洛必达，必须转化连续型。

　　口诀12：数列极限逢绝境，转化积分见光明。

　　口诀13：无穷大比无穷大，最高阶项除上下。

　　口诀14：n项相加先合并，不行估计上下界。

　　口诀15：变量替换第一宝，由繁化简常找它。

　　口诀16：递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。

　　口诀17：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

　　口诀18：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。

　　口诀19：可导可微互等价，它们都比连续强。

　　口诀20：有理函数要运算，最简分式要先行。

　　口诀21：高次三角要运算，降次处理先开路。

　　口诀22;导数为零欲论证，罗尔定理负重任。

　　口诀23：函数之差化导数，拉氏定理显神通。

　　口诀24：导数函数合(组合)为零，辅助函数用罗尔。

　　口诀25：寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。

　　口诀26：寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。

　　口诀27：端点、驻点、非导点，函数值中定最值。

　　口诀28：凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。

　　口诀29：数字不等式难证，函数不等式先行。

　　口诀30：第一换元经常用，微分公式要背透。

　　口诀31：第二换元去根号，规范模式可依靠。

　　口诀32：分部积分难变易，弄清u、v是关键。

　　口诀33：变限积分双变量，先求偏导后求导。

　　口诀34：定积分化重积分，广阔天地有作为。

　　口诀35：微分方程要规范，变换，求导，函数反。

　　口诀36：多元复合求偏导，锁链公式不可忘。

　　口诀37：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。

　　口诀38：多重积分的计算，累次积分是关键。

　　口诀39：交换积分的顺序，先要化为重积分。

　　口诀40：无穷级数不神秘，部分和后求极限。

　　口诀41：正项级数判别法，比较、比值和根值。

　　口诀42：幂级数求和有招，公式、等比、列方程。

高等数学课件 篇3

　　第一章

　　绪论

　　高等教育研究大致经历了个别研究阶段、组织研究阶段和系统研究阶段。

　　第一节

　　高等教育发展简况

　　一、成长中的高等教育

　　（一）高等教育的萌芽阶段

　　古巴比伦的“寺庙学校”把学问分成两级，一为初级教育，传授读写知识；二为高级教育，出读写训练外，还有文法、苏美尔文字等

　　古埃及也有“寺庙学校”，由精通数学、天文知识的僧侣执教，以传授知识与探讨学问并重。

　　雅典的教育得到了很大的发展。雅典大学：通常包括修辞学校、阿卡德米学园、哲学学校“吕克昂以及斯多葛派创立的学校和伊壁鸠鲁派创立的学校。

　　中国殷周时期，便有“右学”、辟雍、泮宫等高等次的学问传授中心。奴隶社会想封建社会过渡的春秋战国时期，出现了世界上第一所真正的高等学府——稷下学宫。

　　高等教育机构性质不明确，教育职能不确定，专业教育性质模糊，学生年龄参差不齐。非正式的教学形式。

　　（二）高等教育的雏形阶段

　　主要指形成与欧洲中世纪大学教育和中国汉代的太学及唐、宋的书院教育。行会组织是中世纪大学的内部管理和学术活动组织的最重要影响力量。在中国汉代的太学为高等教育从萌芽走上雏形奠定了基础。书院教育是高等教育从萌芽走向雏形的标志。中国书院为近现代的高等教育组织形式浇铸了初始模型。

　　（三）高等教育的成型阶段

　　始于文艺复兴默契和资产阶段革命初期。

　　英国人文主义教育家哥勒16世纪初创办了圣保罗学校，成为新型文法学校的样板。

　　（四）高等教育的完善阶段

　　从单一走向多样。1810年柏林大学首先突出了通过研究进行教学、教学与可言统一和独立与自由统一的新型教育原则。

　　赠地学院。提出为教育服务社会。初级学院，研究生院在美国的诞生

　　二、扩张中的高等教育

　　（一）规模化。马丁·特罗三段论。精英、大众和普及

　　（二）中心化

　　（三）综合化。科学与人文结合

　　（四）国际化

　　（五）职业化

　　（六）终身化

　　（七）多元化 第二节 高等教育研究与高等教育学

　　我国汉代编撰的《礼记》、《大学》《学记》都有关大学教育的论述

　　一、个别研究阶段。捷克教育家夸美纽斯的《大教学论》，英国纽曼的《大学的理想》，俄国皮洛戈夫的《大学问题》，美国哈帕的《高等教育的倾向》

　　二、组织研究阶段。1880年法国的“高等教育研究会”。中国第一个正轨的高等教育科学研究机构——厦门大学高等教育科学研究室成立。

　　三、系统研究阶段。1984年1月国务院学位委员会批准夏大高教所为高等教育学专业的硕士点，颧骨哦第一个高等教育学专业硕士点。1986年7月夏大高教所又被批准为全部哦第一个高等教育学专业的博士点。

　　第三节 认识高等教育学

　　二、高等教育学的发展动因

　　（一）高等教育事业的发展推动着高等教育学的产生和成熟

　　（二）高等教育的内部矛盾促使高等教育学的研究不断升华

　　（三）相关学科的协同效应推动着高等教育学的发展

　　三、国内高等教育学的学科体系

　　1984年潘懋元的《高等教育学》上下。全国第一套《高等教育学》被认为是该学科最早、影响较大的一本专著。

　　第四节

　　高等教育的研究方法

　　多学科研究法 文献研究法 案例分析法 反思批判法 体悟总结法

　　第二章

　　高等教育本质 第一节

　　教育与高等教育

　　高等教育功能：

　　1、高深学问选择、传递和创造

　　高等教育基本功能的三个明显特征： 稳定性、潜在性和表现形式多样性 第二节 国内外高等教育结构

　　二、我国高教育结构的历史与现状

　　1、层次结构。专科、本科和研究生

　　2、科类和专业结构

　　3、形式结构。全日制普通高等学校和成人高等学校。20世纪80年代的全国高等教育自学考试制度是我国高等教育的一大创举。

　　4、地区结构

　　我国高等教育结构的调整策略

　　1、层次结构调整：建设少数一流大学，大力发展职业教育

　　2、科类专业结构调整：实现科类结构与产业结构一致，大力推进学科专业综合化

　　3、形式结构调整：完善终身教育体系，形成多样的投资结构

　　4、地区结构调整：加强西部地区高等学校的发展 高等教育功能的使命

　　1、培养人才。萨莱诺大学、波隆那大学、巴黎大学

　　2、发展科学。洪堡创办的柏林大学。通过研究进行教育和教学与科研统一。

　　3、社会服务。林肯的莫里尔法案，求实精神注入大学办学思想和实践中。赠地学院。

　　威斯康星大学思想：把学生培养成有知识，能工作的公民，进行科学研究，发展新知识，新科技，传播知识给广大民众，解决社会生产，生活中的问题。

　　高等学校的职能体系：

　　1、培养人才

　　2、发展科学

　　3、社会服务

　　4、职能的新发展。引导社会的职能、创造新职业的职能、国际合作的职能。

　　培养人才是高等学校的本体职能，发展知识是高等学校的附属职能、服务社会是其附属职能。

　　第五章 高等学校教师与学生

　　第一节，高等学校学生主体性发展的阶段性

　　1、人的主体性 人本身的自然力，为主体所掌握并进入主体活动领域的知识和能力，对实现主体活动目的的起积极作用的情感和意志等要素有机结合而成的复杂整体，就是人的主体性。完整的主体性涵盖四个方面：道德主体性、认知主体性、审美主体性、实践主体性

　　2、大学生主体性发展的阶段性

　　1、低年级：接受性学习阶段为主阶段

　　2、中年级：接受性学习向发展性学习的转变期

　　3、、高年级：发展性学习为主阶段

　　第二节：高等学校教师的素质要求与角色特征

　　一、高等学校教师的素质要求

　　1、文化素质。专业知识、教育智慧

　　2、心理素质。情感品质、意志品质、个性品质

　　3、道德品质。热爱学生、为人师表、学而不厌、团结协作、4、能力结构。教学能力、科研能力、组织能力

　　二、高等学校教师的角色特征 教师角色即教师行为

　　教师角色即教师的社会地位 教师角色即对教师的期望

　　1、大学生增长知识和完满心灵的导师

　　2、大学生热爱学习和终身发展的楷模

　　3、人类文化和社会生产力发展的推动者

　　第三节 高等学校教师与学生的关系

　　一、高等学校教师与学生关系现状

　　1、以教师为主导和中心

　　2、师生关系比较淡漠

　　3、师生关系有些异化

　　二、教师与学生在教育过程中的不同关系理论

　　1、教师中心论与学生中心论

　　赫尔巴特为代表认为的教师中心论。强调教师在教育过程中的绝对支配地位。

　　卢梭、杜威等为代表的学生中心论。主张儿童身心发展规律为基础，学生在教育、教学中处于支配地位，起决定作用。并认为学生的发展是一种主动过程，教师的作用只在于引导学生的学习兴趣，以满足学生的需要，而不是直接干预学生的学习。

　　2、主导——主体论与双主体论

　　主导——主体论即教育过程中教师是主导，学生是主体，成为我国教育理论和实践中流行的一种观点。

　　3、教育主体的一体两面性质

　　教育过程是教师和学生共同参与的双边性活动。

　　三、创设高等学校良好师生关系

　　1、教育质量的前提调动“一体两面”的积极性

　　1、调动教师的积极性

　　2、调动学生的积极性

　　2、创设良好师生关系的途径

　　1、民主与平等

　　2、交流与理解

　　3、自由与宽容

　　第六章 高等学校教育

　　第一节 高等学校学科、专业、课程与教学内容

　　一、高等学校学科与专业

　　1、高等学校学科分类及特征

　　科学是进过或经历论证的知识，规范化的知识体系

　　学科是根据某科学领域里研究对象和性质的差别来分门别类进行研究和学习的知识体系。

　　2、高等学校的专业设置 专业，广义上是指知识的专门化领域，狭义上是指与培养人的活动相联系的一种培养人才的基本单位。或是一种教育尸体。专业是根据学科分类和社会职业分工需要分门别类进行高深专门知识教与学活动的基本单位。

　　1、专业设置的影响因素

　　相应学科对专业设置的影响

　　经济与社会发展需要对专业设置的影响 个人自身发展需要对专业设置的影响

　　2、专业设置的原则

　　超前性原则

　　灵活性原则 可行性原则 结构优化原则 宽口径原则 发展特色原则

　　二、高等学校课程设置的特点

　　1、高等学校课程能更深刻、更及时第反映出一个国家的教育信息和时代特征。

　　2、高等教育一直以培养高级专门人才，研究，探求高深学问为主要任务

　　3、高等教育是在青年人接受基础教育的基础上，在心理、身体发展趋向成熟时期所接受的更高级的专业教育。

　　三、高等学校的教学计划与教学大纲

　　1、教学计划及其修订

　　课程体系结构的方案，是国家为保证培养人才的规格而制定的关于学习的科目和范围的文件。教学计划规定教学科目、学科的顺序、各门科学的教学时数、学年编制与学周的安排。

　　修订：重点解决素质教育尤其是文化素质教育问题

　　重点解决课程内容和体系的整合问题

　　重点解决可持续发展能力的培养问题

　　重点解决鼓励学生个性发展问题

　　2、教学大纲及其编制

　　是一门课程的纲要结构，是以纲要的形式规定有关科学内容的指导性文件，它规定了各门学科的目的、任务、内容、范围、体系、教学进度，时间安排以及对教学方法的要求等。

　　教学大纲的编制原则：

　　1、符合教学计划，体现培养目标

　　2、符合该学科在整个教学计划中的地位和作用以及任务

　　3、高度的科学性、思想性和实践性。

　　4、建立科学严密的体系

　　5、符合学生事迹，贯彻少而精的原则

　　6、文字精炼，语言明确。

　　四、高等学校教学内容的选择与组织

　　1、教学内容与课程

　　p151 两个不同的概念，但有着密切的联系，课程：教学的内容，安排，进程，时限，也包括大纲和教材，课程也不只是教学内容，还有对内容的安排、进程和时限等。

　　教学内容：是学校教育过程的基本因素质之一，是教学过程中教师的教与学生的学的双边活动的中介，学校的教学内容是以教学计划，教学大纲，教材或讲义，活动安排等具体形式表现出来的知识、技能、价值观念及行为。

　　2、选择和组织教学内容应遵循的原则

　　适时原则 完整原则

　　发展学生个性原则 宽口径原则

　　调动教师积极性的原则

　　第二节

　　高等学校教学过程与教学原则

　　一、教育过程的概念

　　在教师有目的、有计划的引导下，学生主动、积极地掌握知识技能、发展智能、形成思想政治道德品质的过程，是教师的教和学生的学相结合的双边活动过程。

　　二、高等学校教学过程的特点

　　1、专业化程度逐步提高

　　2、学习主体性逐渐增强

　　3、教学与科研的紧密结合

　　4、教学与生产、生活联系逐步增加

　　二、高等学校教学过程的规律

　　1、教学相长规律

　　2、教学与科研互动规律

　　3、教学的发展性规律

　　4、、教学的教育性规律

　　高等学校教学过程的组织与实施 教学过程三个典型环节：

　　1、备课

　　2、课堂教学

　　3、考核评定

　　三、高等学校教学原则及其体系

　　1、科学态度与人本精神有机统一的原则

　　2、师生互动合作与自觉制约有机统一的原则

　　3、科学稳定性与适时更新性有机统一的原则

　　4、坚持广泛开发、选择与便利有效运用有机统一的原则

　　5、坚持直观形象感知与逻辑实质认知有机统一的原则

　　6、坚持专业化、定型化、常规化、开放化、变通化、灵活化有机统一的原则

　　7、全面教学质量管理与突出关键环节有机统一的原则

　　第三节

　　高等学校教学方法与教学手段

　　高等学校教学方法及其特点 高扽各学校教学方法的特殊性：

　　1、又注重教法转向注重学法

　　2、具有很强的探索性

　　归纳法、推理法、演绎法等逻辑抽想法

　　3、具有很强的专业针对性

　　二、高等学校教学方法的运用原则 教学有法，但无定法.6 1 教法与学法的统一 讲习知识方法与训练智能方法的统一

　　3、常规教学方法与现代化教学手段的统一。

　　三、高等学校教学方法举隅 高校常用的教学方法有：

　　1）课堂教学方法，包括讲授法、讨论法、实验法、练习法等

　　2）自习与自学指导的方法，包括读书指导法，复习法，辅导等 3）现场教学的方法，包括观察法，调查法，实习法等，4）科研训练法。

　　1、发现教学法。布鲁纳的教育过程

　　1）确立学生兴趣问题。2把问题分解成若干有联系的提问。3）提出可能的答案。4）搜集和组织有感资料。5）钻研和讨论这些资料。6）证实结论

　　2、问题教学法

　　1）提出问题，创设情境

　　2）教师引导下，学生独立活动

　　3）提出新问题

　　3、研讨式教学法

　　第一阶段

　　探索阶段。1）确定研讨课题

　　2）查阅资料

　　3）从已确定的课题或问题出发进行研究，调查，实验，论证。4）撰写研究报告

　　第二阶段

　　报告讨论阶段。1）设立研讨式教学的筹备小组。2）向全班宣告专题报告和分组讨论的程序。3）进行小组专题报告和讨论。4）各小组代表向研讨全体做报告。5）教师或召集人进行总结。

　　4、掌握学习

　　5、学导式教学法

　　6、个性化教学

　　四、高等学校教学手段的发展

　　1、建立了现代化的数字图书馆校园

　　2、开发了适应新教学手段的教材体系

　　3、构建了先进的教育网络系统

　　第四节

　　高等学校教学设计与教学评价

　　一、高等学校教学设计的内涵与基本程序

　　1、教学设计的内涵

　　教育实践工作者为达到一定的教学目标，对教学活动进行的系统规划、安排与决策。

　　2、教学设计的基本程序

　　1）规定教学的预期目标，分析教学任务，预测教学结果 2）确定学生起点状态，分析学生原知识结构水平3）分析学生起点状态和掌握知识的能力结构 4）思考教学方法和手段 5）如何对教学结果评价 6）分析教材

　　二、高等学校教学设计的模式与内容

　　1、模式

　　1）系统分析模式 2）目标模式 3）过程模式

　　2、内容

　　高等学校教学设计的内容包括：教学目标设计、教学起点设计、教学内容设计、教学时间设计、教学措施设计、教学评价设计。

　　三、高等学校教学评价的内涵与分类

　　1、教学评价的内涵

　　在广泛收集各种信息的基础上对教学活动进行价值判断，为教学决策提供依据，从而实现对教学活动的控制，以达到预期教学目标的过程。

　　2、教学评价的分类

　　1）按评价的对象。整体教学水平评价、专业教学质量评价、课程评价、单项评价等 2）按评价主体分。自我评价、政府评价、中介机构评价

　　3）按评价时间和作用分。诊断性评价、形成性评价、总结性评价 4）按评价基准分。相对评价和绝对评价

　　5）按评价的性质分。需要评价、可行性评价和配量性评价。

　　四、高等学校教学评价的作用 1）管理作用 2）导向作用 3）鉴定作用 4）激励作用 5）改进作用

　　第五节

　　教学风格及其形成途径

　　一、教学风格及其意义

　　教学风格是指教师在长期教学艺术实践中逐步形成的、富有成效的一贯的教学观念，教学技巧和教学作风的独特结合表现。是教学艺术个性化的稳定状态之标志

　　二、教学风格的基本特点 1）独特性 2）多样性 3）稳定性 4)发展性

　　三、教学风格的形成途径

　　1）学校领导更新教育观念，发扬教学民主，鼓励教师建立自己个人的教学风格 2）形成独特的教学风格是每位教师应有的自觉追求。

　　培养乐教精神

　　掌握教育教学规律，教学基本功提升

　　注意扬长避短

　　定向发展

　　把继承和发展，学习和创新结合起来

　　第六节 高等学校教学改革

　　一、高等学校教学改革的过程理论 1）自上而下的模式 2）自下而上的模式

　　二、高等学校教学改革的发展趋势 1）教学改革国家化趋势 2）学科综合化趋势增强 3）教学趋势个性化 4）教学管理活性化 5）倡导自主性学习

　　6）围绕培养创新人才展开 7）强调教学内容的更新

　　三、高等学校教学改革的策略

　　1）更新教学观念，树立人格平等意识 2）依法治教，促进教学规范化 3）优化教学内容与课程体系 4）改进教学方法与手段 5)提高教师综合素质 6）改革教学管理

　　第七章

　　高等学校科学研究

　　第一节

　　高等学校科学研究的意义和任务

　　一、高等学校科学研究的意义

　　1、内部意义 1）人才培养意义 2）教师队伍建设意义 3）学科建设意义 4）经费筹措意义

　　2、外部意义

　　1）提升国家的科技水平，繁荣学术文化 2）服务社会

　　3）解决国际学术难题

　　二、高等学校科学研究的任务 1）承担国家的重大科研课题

　　2）进行经济社会发展中的重大理论和政策问题研究 3）以基础研究为重点，积极开展应用研究和开发研究4）优化资源配置，直接为经济社会发展服务

　　5）开展教育科研研究

　　第二节

　　高等学校科学研究的类型与课题申报

　　一、高等学校科研研究的类型

　　1、从课题来源分

　　自主性研究和立项课题研究

　　2、从课题性质分

　　理论性研究。为了获得关于现象和可观察事实的基本原理的新知识而进行的实验性或理论性的研究活动。

　　实践性研究。为了获得新的知识并服务于应用目的而进行的创造性的研究活动。

　　二、高等学校科学按就课题申报 1）科研选题

　　1、基础研究选题主要以科学发展为导向，应用研究和技术开发的选题以市场需要为导向，基础性应用研究选题以市场导向和科学发展导向相结合。

　　2、科研选题的方法。问题法、移植法、交叉法

　　3、科研选题的步骤。阅读有关项目申报通知材料，阅读文献，研究项目意向的内涵与外延以及相关因素。2）项目设计

　　申报项目命题。灵魂、核心、主题，研究的出发点和归宿。

　　项目组成人员

　　合作单位选择

　　项目研究基础

　　项目立项依据

　　研究内容，方法和手段

　　项目意见填写

　　第三节

　　高等学校科研研究的原则与组织

　　1、教学与科研互促性原则

　　2、社会经济效益与学术水平相统一的原则

　　3、以应用研究、开发研究支撑基础研究的原则

　　4、遵循项目指南与尊重自由选题相结合的原则

　　5、多层次，多模式相结合的原则

　　第八章

　　高等学校服务社会

　　第一节

　　高等学校服务社会的意义

　　一、对办学方向的意义

　　二、对促进教学、科研的意义

　　三、对高等教育发展的意义

　　第二节

　　美国高等学校服务社会的借鉴

　　一、美国高等学校服务社会的两种模式

　　1、美国都市大学

　　美国都市大学也称合作大学，相互作用大学，始于20世纪中期，80年代末。其基本战略是使学校与它所在的shequ 的企业界，公众及政界的领导建立一种积极的、双向作用的伙伴关系，为实现社区经济繁荣和社会公正的共同目标努力。

　　2、专业发展学校

　　20世纪80年代中期后形成的一种新型的教师培养模式。其核心是大学与基础学校之间建构性伙伴关系的建立与获得，以及在教师pei样过程中学院气氛的淡化和实践氛围的浓厚。

　　二、美国高等学校服务社会对我国的启示

　　1、大学做出象牙塔是历史发展的必然结果

　　2、学术性与实用性的矛盾是服务社会过程中的首要难题

　　第三节

　　高等学校服务社会的内容与管理

　　一、高等学校服务社会的内容

　　1、教学服务。是高等学校为社会提供的直接服务中最简单的一种，厦门大学潘懋元先生将教学服务定义为：教学服务，就是通过教学活动开展社会服务，面向社会传播，推广科学文化知识和新技术，不拘一格的培养各种应用性人才。

　　2、科研服务。指高校发挥自身的科研优势，为解决社会生产生活中出现的一些实际问提供直接支持，如进行基础研究的应用性开发、参加国家或地区的联合科研攻关项目或直接为企业或农村提供科技咨询等。

　　3、通过信息和设备资源共享为社会服务。高等学校作为社会的“信息库”“思想库”，同时也是地区的资源中心，集中了一个地区最先进的智力资源、信息资源、设备资源、人才资源等。

　　二、高等学校服务社会的管理

　　1、社会（政府）对高等学校服务社会的管理 1）政策支持

　　2）法律保障和约束 3）资金鼓励

　　2、高等学校服务社会过程中的自我管理 1）强调校长的职业素质 2）统筹安排服务活动

　　3）加强服务人员的队伍建设 4）建立服务行为的激励机制

　　第九章

　　高等学校管理

　　第一节

　　高等学校管理体制

　　一、高等学校的内部决策与领导体制 体制是社会活动的组织方式，是指运用什么手段把构成社会活动的各要素组织起来，使其正常运行。

　　1、高等学校内部领导层的构成 1）高等学校的校长。

　　高等学校的校长通常也是学校对外的法人代表，负有对高等学校全面管理的职责。

　　高等学校校长的产生和任命方式，因国家高等教育管理体制的不同而不同。

　　在规模较大的高等学校中，校长作为对全校工作的全面负责者，需要配社一定的助手 国际上不少大学校长的活动，重点在于学校办学资金的筹集。2）高等学校的几种决策权利机构

　　董事会

　　理事会或校务委员会

　　学术委员会或学术评议会

　　2、高等学校的几种决策模式

　　1）科层制模式。学校实际决策权利倾斜于学校行政管理人员。2）学术团体模式。决策权利倾向于学校学术人员。3）双重组织模式

　　3、我国高等学校的内部领导体制

　　1）建国以来我国高等学校领导体制的演变、1950-1956年的校长负责制

　　1956-1961年党委领导下的校务委员会负责制

　　1961-1966年党委领导下以校长为首的校务委员会负责制

　　1971-1976年的党委“一元化”领导

　　1978-1985年党委领导下的校长分工负责制

　　1985-1989年逐步实行校长负责制的试点

　　1989年至今党委领导下的校长负责制

　　二、高等教育宏观管理体制与运行机制

　　1、高等教育宏观管理体制 1）政府干预为主的运作体制 2）以社会力量为主的运作体制 3）以高校自主办学为主的运作体制

　　2、我国高等教育宏观管理体制

　　1）我国高等教育宏观管理体制的历史沿革

　　2）我国高等教育宏观管理体制改革的重点和趋势

　　扩大省级部门对属地高校的统筹权

　　鼓励社会广泛参与办学

　　扩大高校办学自主权

　　3、高等学校组织结构与校内管理机制 1）高等学校的组织结构与系统特性

　　高等学校的组织结构：从功能上划分，分为决策领导结构、职能管理部门、教学科研单位和有关附属单位。

　　在管理层次上，有的分为校、系两级，有的则认为校、院、系三级或校、系、教研室三级。

　　管理权力结构上，高校采用直线—职能制的形式。2）高等学校的系统特性

　　组织结构的学科性和国际性。内部分工很大程度上是与一定的科学结构相关的。

　　组织目标的多样性和模糊性

　　组织成员活动的高智力性和相对独立性

　　（二）我国高等学校内部管理体制改革的内容

　　1、内部管理的中心宜放在院系一级

　　2、管理过程尽可能吸收教学、科研人员民主参与

　　3、建立适合高等学校特点的激励机制

　　4、加强规章制度建设，建立有效的调控机制

　　第二节

　　高等学校管理系统的要素及特性

　　一、高等学校管理系统的要素

　　（一）管理主体

　　（二）管理客体

　　（三）管理方式

　　（四）管理目的

　　（五）管理环境

　　二、高等学校管理的特性

　　（一）管理组织的松散型

　　（二）管理权威的双重性

　　（三）、管理结构的多样性

　　（四）管理准则、规范的矛盾性和含糊性

　　（五）管理主客体的相对性

　　三、高等学校管理的目标

　　第三节

　　高等学校管理的原则与内容

　　一、高等学校管理的原则体系

　　（一）一般管理原则

　　1、系统原则

　　2、分工协作原则

　　3、反馈原则

　　4、能级原则

　　5、封闭原则

　　6、动态原则

　　7、激励原则、8、弹性原则

　　（二）学校管理原则

　　1、方向性原则，2、教育性原则，3、民主性原则，4、效益性原则

　　（三）高等学校管理原则

　　1、入学机会均等与择优培养原则

　　2、学术自由与教育责任原则

　　3、学术自治与社会参与原则

　　二、高等学校管理的内容

　　（一）人力资源管理

　　（二）教学管理

　　（三）科研管理

　　（四）财力和物力资源管理

　　第十章 高等学校教育制度 第一节 高等学校的学制

　　高等学校的学制是指各类各层次高等学校的系统，是国家整个学校教育制度的一个组成部分。

　　一、学制概述

　　指一个国家的各级各类学校的系统，包括：有哪些种类的学校，这些学校由谁来主办和管理，学校的性质和任务是什么，实际的入学条件，修业年限以及各级各类学校的关系如何等等。

　　（一）学制的建立受制于社会的生产力和科学技术的发展水平

　　（二）学制的建立受到社会政治制度的制约

　　（三）学制的建立须适应学习者的年龄特征和发展水平

　　二、国外高等学校学制概况

　　（一）、美国高等学校学制

　　美国的高等教育已成了三级结构，第一级为两年制初级学院，毕业后可获得副学士学位；第二级为四年制综合大学和各种专业学院，毕业后可获得学士学位；第三级为研究生院和高级专业教育。研究生可在不同年限和水平上获得硕士、博士学位。

　　（二）日本高等学校学制

　　1、短期大学

　　2、高等专门学校

　　3、本科大学

　　（三）法国高等学校学制

　　1、大学技术学院和高级技术员班

　　2、大学。综合性大学。

　　3、大学校。属长学制的高等职业教育机构。

　　（四）、德国高等学校学制

　　1、职业学院和专科大学

　　2、大学

　　（五）英国高等学校学制

　　三、我国高等学校学制结构

　　高等学校学制结构一般是指高等学校的形式结构和层次结构。形式结构，有普通高等学校和成人高等学校。从层次结构上，专科、本科和研究生。

　　（一）全日制高等学校

　　1、普通高等学校（1）高等专科学校（2）大学和专门学院（3）研究生院

　　2、职业高等学校

　　（二）成人高等学校

　　第二节

　　高等学校招生和毕业生就业指导制度

　　一、高等学校招生制度

　　是高等学校教育制度的重要组成部分，它规定着不同层次、不同类别的高等学校在人才选拔中所拥有的权限，人才选拔的标准、形式和范围等。

　　（一）各国高等学校招生制度

　　1、统一的入学考试方式

　　2、有大学单独组织入学考试的方式

　　3、统一考试和单独考试的相结合的方式

　　4、直接从中学招生，不举行考试

　　（二）我国高等学校的招生制度

　　1、招生手段上实行高中会考和统考相结合的制度

　　2、实行多渠道的招生制度。收费制度是指国家本着成本分担的原则，由高等教育的受益者自己承担部分培养费用，毕业生自主择业。高等教育属于非义务教育。

　　3、我国高校招生制度改革的方向

　　扩大高校和地方招生自主权

　　录取时参考学生的综合素质

　　进一步完善高校招生收费制度，通过辅之以奖学金、贷学金、助学金和勤工俭学基金等制度，保证高校招生制度得以顺利有效地实施

　　二、高等学校毕业生就业指导制度 计划分配——双向选择——自主择业

　　（二）高校毕业生就业制度的改革方向

　　1、规范毕业生就业市场，创造公平竞争的用人环境

　　2、明确政府在毕业生就业市场中的角色定位

　　宏观调控者、市场引导着、人才需求规划者和信息服务与咨询者

　　3、发挥高校就业指导的主渠道作用。

　　合理设置专业、适应社会需求，强化职业技能培养

　　积极采取相应措施

　　建立全国毕业生就业信息网，加强就业信息的收集和发布，为毕业生就业创造更好的条件。

　　5、毕业生树立正确的就业观念，做好充分的职业准备。

　　第十一章

　　高等学校建设

　　第一节

　　高等学校教师队伍建设

　　一、高等学校需要合理的教师队伍结构

　　（一）切合实际的职称结构

　　（二）多样动态的专业结构

　　（三）充满活力的年龄结构

　　（四）不断优化的学历结构

　　（五）多元互补的学源结构

　　（六）凝聚人心的团粒结构

　　二、教师聘任制和资格制度

　　（一）教师聘任制。按照教授、副教授、讲师、助教的职称来聘任教师。所谓完全意义上的聘任制，就是要使教师和学校双方变人生依附关系为平等的合同管理。

　　（二）教师资格制度

　　1、教师资格制度的性质及其与教师聘任的关系问题。教师资格制度的本质是国家实行的一种法定的教师职业许可制度，是公民获得教师岗位的前提条件，教师资格知识教师聘任的必要条件，而不是充分条件，具有教师资格的人能否被安排担任教师工作还要受教师编制】教师队伍年龄、学科、学科、地区分布、职务等方面结构和个人实际水平及特长等方面职业

　　三、确立三大理念：改善教师队伍结构的前提 确立教师为本的办学观，坚定教师的主体地位 立海纳百川的师聘观，广延国内外名师 确立中西交融的师培观，提高队伍整体素质

　　第二节 高等学校学科、专业和课程建设

　　高等学校的学科建设和师资建设联系起来构成了高等学校建设的中心问题。学科建设抓哟是从科学和学术意义上说的，专业建设是从教学学意义上说的。课程建设包括课程结构，单门课程建设。

　　一、学科建设在人才培养中的意义

　　（一）学科建设是人才培养的基础

　　（二）学科建设对人才培养模式产生直接影响

　　（三）人才培养的质量取决于学校学科发展的水平

　　二、学科、专业建设方略

　　（一）合理规划，确立学科建设的定位和目标

　　（二）理顺学科体系，优化学科结构

　　（三）重视学术梯队建设

　　（四）加强与外界的交流和合作

　　三、高等学校课程建设的内容及其评价

　　（一）课程建设的内容

　　优化课程体系，更新课程内容

　　改革教学方法和教学手段

　　重视课程管理

　　（二）课程建设的评价

　　课程建设评价的过程（自由评、院系评、校评和整改）

　　课程建设评价指标。课程改革、教学条件、师资水平、教学效果、教学职责 课程建设评价的原则

　　课程建设评价要处理好的几个问题（硬件与软件建设的不同特性；学生参与课程建设评价问题；校际之间差距）

　　第三节

　　高等学校教学基础建设

　　一、高等学校文献信息资源建设

　　（一）传统文献信息资源建设

　　（二）电子文献信息资源建设

　　（三）共享也是一种建设

　　二、高等学校教学、试验装备建设、（一）合理规划是教学、试验装备建设的基础

　　（二）强化项目管理是教学、时间装备建设的关键

　　（三）建立灵活的投资机制是教学，试验装备建设的保障

　　（四）健全管理制度是教学、试验装备建设的保障

　　三、高等学校教育、实习基地建设

　　（一）教育、实习基地的功能

　　提供理论联系实际的场所

　　激发学生的创新思维、培养创造新能力的练兵场

　　学生职业道德和个性品质的养成所

　　沟通学校与社会的桥梁

　　（三）教育、实习基地的建立与管理

　　第四节

　　高等学校校园文化建设

　　一、校园文化的涵义及意义、是指高校校园区域中，由广大师生员工在教育、教学、管理、服务等活动中创造形成的一切物质形态、精神财富及其创造形成过程。

　　物质文化层

　　观念文化层

　　制度文化层、方式文化层

　　二、校园文化的意义

　　1、校园文化辐射社会精神文明

　　2、校园文化养成大学生素质

　　3、校园文化奠基教育现代化

　　二、校园文化的特征及功能

　　1、认同与超越

　　2、交融与批判

　　3、吸收与辐射

　　4、教育与自我教育

　　5、对外的独特性与对内的一致性

　　校园文化的功能：

　　1、导向目标；

　　2、启迪智慧；

　　3、塑造人格；

　　4、规范行为

　　三、校园文化建设的内容及途径

　　（一）共创校园精神

　　（二）发展智能结构

　　（三）培养健全人格

　　（四）丰富业余生活

　　第十二章

　　高等教育发展

　　第一节

　　高等教育发展的内涵

　　一、高等教育的全面发展

　　一方面是指高等教育应积极主动地适应经济与社会发展的需要，与社会其他系统协调发展；另一方面，在高等教育系统内，各部分要按合理的比例均衡发展，正确处理规模、结构、质量、效益的关系。

　　（一）高等教育的加快发展与适度规模

　　（二）高等教育结构多样化，多层次，低重心

　　（三）学科和课程结构日益综合化

　　二、高等教育的可持续发展

　　（一）可持续发展思想对高等教育的指导意义

　　（二）高等教育与社会的可持续发展

　　（三）高等教育自身的可持续发展。在于它是否遵循高等教育自身发展规律，即高等教育的内外部规律。

　　1、高等教育的超前性。首先成立广泛参与的规划机构，其次，正确的预测是高等教育规划超前的基础；再次，正确处理预见性与可行性的关系，预见性必须建立在科学的基础上，遵循高教发展的客观规律。

　　2、高等教育的整体性。高等教育功能的整体性是指高等教育社会功能和个体发展功能彼此独立，各具特殊效用，又相互联系，相互促进，相辅相成，形成高等教育功能的整合效应。

　　3、高等教育的全面性。

　　三、高等教育的发展观

　　（一）高等教育质量与发展密切相连

　　（二）高等教育质量衡量标准

　　（三）质量关与发展观

　　第二节

　　高等教育发展的趋势

　　一、高等教育大众化

　　（一）高等教育大众化的概念。

　　高等教育大中哈uyouyige世界公认的数量指标，就是高等教育毛入学率道道15%---50%。马丁·特罗总结发达国家大众化进程的规律。15%以内为精英阶段

　　15%--50%以内为大众阶段 50%以上为普及阶段

　　（二）高等教育大众化是社会发展的必然选择

　　（三）高等教育大众化的途径和方式

　　1、办学主体多元化

　　2、高教结构多样化

　　3、专业设置多样化

　　4、民办高教规范化

　　二、高等教育国际化

　　（一）高等教育国际化的内涵

　　1、活动方法

　　2、能力方法

　　3、精神气质方法

　　4、过程方法

　　（二）高等教育国际化的主要内容

　　1、国际化的教育概念

　　2、国家化的培养目标

　　3、国际化的课程内容

　　4、人员的国际交流

　　5、国际学术交流和合作研究

　　6、国际化的教育评估

　　三、高等教育现代化

　　高等教育现代化的实质是要以整个社会现代化的客观需要为动力，以社会文化的全部最新成就武装高等教育各个层面，从而使教育自身具备适应和促进整个社会现代化的能动力量。

　　（一）高等教育实体的现代化

　　1、高等教育思想现代化

　　2、高等教育制度现代化

　　3、高等教育教学内容、教学手段和教学技术现代化

　　4、高等教育管理现代化

　　（二）高等教育现代化的本质是人的现代化

　　1、对自己本质真正占有

　　2、具有自我批判和自我超越精神

　　3、具备面向未来的开放性和创造精神

　　（三）我国实现高等教育现代化面临的问题

　　1、传统文化限制高等教育现代化的发展

　　2、现实国情制约高等教育现代化的步伐

　　第三节

　　高等教育发展的战略

　　一、科教兴国与高等教育发展

　　19(一)高等教育在科教兴国战略中的作用

　　（二）实施科教兴国战略是中国高等教育的发展举措

　　1、首要的是确保高等教育全面、可持续发展

　　2、重点建设若干所具有世界先进水平的一流大学

　　3、重点发展高等教育的创新能力

　　二、国家创新体系与高等教育发展

　　高等教育是国家创新体系的重要组成部分

　　由于高等学校在国家创新体系中的基本职能主要是传播知识和培养人才，而国家创新体系中的每一个部分，就其运转来说都离不开具有知识创新和技术创新能力的人才的参与。

　　当具备了一定的创新条件，创新则主要取决于个人的创新精神和创新能力以及实干，敢于承担风险，乐于交流以及对环境保持敏锐的洞察力等品质。

　　高水平的高等学校，尤其是综合性大学，还以其多学科的融合，教学和科研的相互促进的便利、良好的国际学术交流与合作的环境等特殊的又是。

　　三、思想观念转变与高等教育发展

　　思想是行动的指南

　　宏观层次的高等教育思想是人们对整个高等教育所持的系统看法。

　　微观层次的高等教育观念是人们对高等教育中某个主要部分或缓解所持的看法。

　　高等教育是遗传适应和制度创新相融合的产物。

高等数学课件 篇4

　　高等数学教案

　　定积分的应用

　　教学目的 第六章

　　定积分的应用

　　1、理解元素法的基本思想；

　　2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

　　3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

　　1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

　　2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

　　1、截面面积为已知的立体体积。

　　2、引力。

　　§6 1 定积分的元素法

　　回忆曲边梯形的面积

　　设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分

　　Aaf(x)dx

　　b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

　　A(x)af(t)dt

　　x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素

　　以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分

　　Aaf(x)dx 

　　b

　　一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得

　　Uaf(x)dx

　　b

　　用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

　　三峡大学高等数学课程建设组

　　高等数学教案

　　定积分的应用

　　§6 2 定积分在几何上的应用

　　一、平面图形的面积

　　1．直角坐标情形

　　设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为

　　Sa[f上(x)f下(x)]dx 

　　类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

　　Sc[右(y)左(y)]dy

　　例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

　　解(1)画图

　　(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2

　　(4)计算积分 db1

　　S(xx)dx[2x21x3]10033321

　　3例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

　　解(1)画图

　　(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4

　　2(4)计算积分418

　　S2(y41y2)dy[1y24y1y3]426222y 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积

　　ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx

　　所以 2S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t 

　　于是

　　S40ydx4bsintd(acost)

　　2a0三峡大学高等数学课程建设组

　　高等数学教案

　　定积分的应用

　　4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab

　　2202

　　2．极坐标情形

　　曲边扇形及曲边扇形的面积元素

　　由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d 2曲边扇形的面积为

　　S1[()]2d 2

　　例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

　　224a23

　　解: S01(a)2d1a2[13]02332

　　例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积

　　 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

　　22232

　　a2[32sin1sin2]0a

　　242

　　二、体 积

　　1．旋转体的体积

　　旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴

　　常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

　　旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

　　设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx 

　　于是体积元素为

　　dV  [f(x)]2dx 

　　旋转体的体积为

　　Va[f(x)]2dx

　　例

　　1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

　　解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx

　　h

　　所求圆锥体的体积为

　　三峡大学高等数学课程建设组

　　b高等数学教案

　　定积分的应用

　　22hrr1hr2

　　V0(x)dx2[1x3]0h3h32y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积

　　ab

　　解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 h

　　yba2x2

　　a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为dV  y 2dx 

　　于是所求旋转椭球体的体积为

　　22a2 Vb2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab

　　a33aa

　　例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

　　解

　　所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

　　Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt

　　a30(13cost3cos2tcos3t)dt

　　5 2a 3

　　所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

　　22(y)dy0x1(y)dy

　　Vy0x22a2a22a2

　　2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt

　　a30(tsint)2sintdt6 3a 3 

　　2．平行截面面积为已知的立体的体积

　　设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx  立体的体积为

　　VaA(x)dx

　　例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

　　解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为

　　三峡大学高等数学课程建设组

　　b2高等数学教案

　　定积分的应用

　　A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为

　　2RR2R3tan

　　VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R223

　　3例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

　　解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(RA(x)hyhR2x2于是所求正劈锥体的体积为VRhR2x2dx2R2h2co2sd1R2h02R三、平面曲线的弧长设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1 MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线i1n弧AB是可求长的定理光滑曲线弧是可求长的1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为(dx)2(dy)21y2dx从而得弧长元素(即弧微分)ds1y2dx以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为sa1y2dx三峡大学高等数学课程建设组b高等数学教案定积分的应用在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度3解 yx2 从而弧长元素 13ds1y2dx1xdx因此 所求弧长为sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]33333例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度c解 yshx 从而弧长元素为cds1sh2xdxchxdxcc因此 所求弧长为bbbsbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数dy(t)因为 dx(t)d t  所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt(t)所求弧长为s2(t)2(t)dt例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2)的长度解 弧长元素为dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind2所求弧长为2s02asind2a[2cos]08a222三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程()(    )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得x()cosy()sin(   ) 于是得弧长元素为dsx2()y2()d2()2()d从而所求弧长为s2()2()d例4求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长解弧长元素为dsa22a2da12d于是所求弧长为2s0a12da[2142ln(2142)]作业：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用§6 3 功水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为Fkq(k是常数)r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为 qdrr2qdrr2bkq2Wa11drkq[1]bakq()rabr例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k  即pVk 或pkV在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为FpSkSkxSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx x即功元素为dWkdxx于是所求的功为bbWakdxk[lnx]baklnxa例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用dW882xdx此即功元素 于是所求的功为225(kj)xW088.2xdx88.2[]5088.2225二、水压力从物理学知道 在水深为h处的压强为ph  这里  是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为PpA如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为  计算桶的一个端面上所受的压力解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx  得压力元素为dP2xR2x2dx所求压力为P02  xRxdx(R03R2rR3[2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2)三、引力从物理学知道 质量分别为m1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为FGm1m2r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于2222是在水平方向上 引力元素为dFxGmdyamdyaGa2y2a2y2(a2y2)3/2三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用引力在水平方向的分量为Fx2lG2l2Gmlamdy1223/222a(ay)4al作业：P292：3（2），6三峡大学高等数学课程建设组

高等数学课件 篇5

　　-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

　　1-----高等数学教案-----

　　n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

　　[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

　　limf(i)xi

　　0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

　　-----高等数学教案-----

　　则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

　　f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

　　b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

　　-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

　　①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

　　b af(x)dxs

　　(S是曲边梯

　　-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

　　(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

　　-----高等数学教案-----

　　①当ab时， af(x)dx0.ab

　　②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

　　①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

　　b b a1dx adxba.b b b b a a a

　　-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

　　b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

　　b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

　　bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

　　-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

　　b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

　　mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

　　-----高等数学教案-----

　　b故在[a , b]上至少存在一点，使得

　　b af(x)dxf()ba即

　　b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

　　-----高等数学教案-----，所以

　　124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

　　 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

　　1.积分上限的函数(变上限

　　-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

　　x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

　　xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

　　sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

　　xlimx1

　　2-----高等数学教案-----

　　

　　3. (x)f(t)dt

　　f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

　　例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

　　15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

　　-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

　　x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

　　f(x)f()(xa)

　　-----高等数学教案-----

　　(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

　　f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

　　b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

　　为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

　　(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

　　CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

　　(b) af(x)dx

　　F(b)F(a)

　　F(x).ba

　　-----高等数学教案-----证: 因

　　1

　　1例7. 2dxlnx2

　　xln1ln2 ln2.1

　　例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

　　221xx(x)0(x)22

　　1.例9.设

　　x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

　　:

　　2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

　　例10.求

　　x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

　　tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

　　-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

　　b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

　　3-----高等数学教案-----例 例

　　223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

　　12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

　　-----高等数学教案-----

　　sin2tcostdt

　　2 例

　　2  cottdt

　　4 2(csc2 t1)dt

　　4(cottt)2

　　414. 5 02sinxcosxdx

　　 5 02cosxdcosx

　　(166cosx)20

　　16.-----高等数学教案-----

　　4.例5. 0x(2x)dx

　　12421 0(2x)d(2x)2

　　25111

　　[(2x)]0

　　2531

　　.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

　　a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

　　4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

　　 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

　　以

　　a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

　　2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

　　a为奇函数，则

　　 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

　　-----高等数学教案-----

　　32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

　　xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

　　-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

　　312[(arctanx)]0

　　332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

　　 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

　　例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

　　-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

　　 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

　　f(cost)dt

　　2 0f(cosx)dx.2 0

　　例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

　　-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

　　0 xt  (t)f(sint)

　　 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

　　 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

　　.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

　　-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

　　eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

　　xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

　　x ef(x)1，x x 0ux

　　-----高等数学教案-----即

　　f(x)e.4.定积分的分部积分法:

　　x

　　 auvdx(uv) auvdx.bba b

　　例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

　　55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

　　x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

　　-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

　　T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

　　af(x)dx

　　xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

　　 a aT 0f(x)dx

　　T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

　　-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

　　bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

　　b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

　　-----高等数学教案-----

　　baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

　　t

　　 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

　　-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

　　b

　　f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

　　b

　　-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

　　F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

　　[F(x)].a

　　-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

　　[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

　　[F(x)].例1.判断反常积分

　　x 0xedx

　　2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

　　xlim(e) 221 .2

　　例2.判断反常积分

　　1 cosxdx

　　22的敛散性.解: 原式(sinx)

　　1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

　　-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

　　-----高等数学教案-----

　　1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

　　 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

　　-----高等数学教案-----

　　1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0

　　

　　22. 1 

　　例5.判断反常积分

　　1dx

　　2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

　　-----高等数学教案-----

　　x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

　　-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

　　 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

　　blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

　　 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

　　-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

　　b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

　　b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

　　b af(x)dxF(b)limF(x)

　　xa[F(x)].ba

　　-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

　　b af(x)dxlimF(x)F(a)

　　xb[F(x)].ba

　　例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

　　x 0101.-----高等数学教案-----

　　1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

　　(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

　　0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

　　-----高等数学教案-----

　　1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

　　例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

　　xx 1

　　-----高等数学教案-----

高等数学课件 篇6

　　高等数学教案

　　课程的性质与任务

　　高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

　　第一章：函数与极限

　　教学目的与要求

　　18学时

　　1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　第一节：映射与函数

　　一、集合

　　1、集合概念

　　具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

　　1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

　　元素与集合的关系：aA

　　aA

　　一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

　　元素与集合的关系：

　　A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

　　如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

　　并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

　　差集

　　AB：AB{x|xA且xB

　　全集I、E

　　补集AC：

　　集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

　　ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

　　(AB)CA(BC)分配律

　　(AB)C(AC)(BC)

　　(AB)C(AC)(BC)

　　对偶律

　　(AB)AB

　　(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

　　3、区间和邻域

　　开区间

　　(a,b)闭区间

　　a,b 半开半闭区间

　　a,b有限、无限区间 cccccca,b

　　邻域：U(a)

　　U(a,){xaxa}

　　a 邻域的中心

　　邻域的半径

　　

　　去心邻域

　　U(a,)

　　左、右邻域

　　二、映射 1.映射概念

　　定义

　　设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

　　f：XY

　　其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

　　yf(x)

　　注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

　　2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

　　3)单射、满射、双射

　　2、映射、复合映射

　　三、函数

　　1、函数的概念：

　　定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

　　记为

　　yf(x)xD

　　自变量、因变量、定义域、值域、函数值

　　用f、g、

　　函数相等：定义域、对应法则相等

　　自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

　　2)ｙ＝x

　　3)符号函数

　　1y01x0x0x04)取整函数 yx

　　（阶梯曲线）

　　2x0x1x15)分段函数 y

　　2、函数的几种特性

　　1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

　　2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

　　f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

　　图形特点(关于原点、Y轴对称)

　　4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

　　3、反函数与复合函数

　　反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

　　函数与反函数的图像关yx于对称

　　复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

　　4、函数的运算

　　和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

　　5、初等函数：

　　1(y)x，称此映射f1为f函数的

　　1)幂函数：yxa

　　2)指数函数：yax

　　3)对数函数 yloga(x)

　　4)三角函数

　　()

　　ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

　　5)反三角函数

　　yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

　　6)双曲函数

　　ee2xxyarccot(x)

　　shx

　　chxxxxxee2xx

　　thxshxchxeeee

　　注：双曲函数的单调性、奇偶性。

　　双曲函数公式

　　sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

　　作业： 同步练习册练习一

　　第二节：数列的极限

　　一、数列

　　数列就是由数组成的序列。

　　1）这个序列中的每个数都编了号。

　　2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

　　例 1 数列是这样一个数列xn，其中

　　n1a2a3a4an

　　xn也可写为：

　　1121n，n1,2,3,4,5

　　131415

　　1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

　　0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

　　limxna

　　n也可等价表述：

　　1）0

　　2）0NNnNnN(xna)

　　xnO(a)

　　极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

　　二、收敛数列的性质

　　定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

　　定理3：如果limxna且a>0(a0，当n>N时，xn0x(xn0)

　　定理

　　4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

　　第三节：函数的极限

　　一、极限的定义

　　1、在x0点的极限

　　1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

　　xx0形式定义为：

　　0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

　　2、x的极限

　　设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

　　f(x)A

　　线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

　　x

　　在无穷远点的左右极限：

　　f()lim关系为： xf(x)

　　f()limf(x)

　　xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

　　xxx

　　二、函数极限的性质

　　1、极限的唯一性

　　2、函数极限的局部有界性

　　3、函数极限的局部保号性

　　4、函数极限与数列极限的关系

　　第四节：无穷小与无穷大

　　一、无穷小定义

　　定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

　　1、 则称它为无穷小量，即limxn0

　　x的意义；

　　2、xn可写成xn0；(0,xn)

　　3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

　　定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

　　二、无穷大定义

　　一个数列xn，如果成立：

　　G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

　　x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

　　x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

　　三、无穷小和无穷大的关系

　　定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

　　1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

　　1f(x)为无穷大

　　即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

　　lim0limx1xnx

　　limlimx1xnx0

　　注意是在自变量的同一个变化过程中

　　第五节：极限运算法则

　　1、无穷小的性质

　　设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

　　limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

　　xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

　　limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

　　limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

　　xx（4）xn也是无穷小量：

　　xx0limxn0limxn0

　　xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

　　2、函数极限的四则运算

　　1、若函数f和g在点x0有极限，则

　　lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

　　xx0xx0xx0

　　2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

　　lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

　　3、若函数f和g在点x0有极限，则

　　lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

　　xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

　　xx0limf(x)f(x)xx0

　　lim

　　xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

　　lim

　　x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

　　4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

　　定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

　　g(x)u0，则

　　xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

　　两个重要极限

　　定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

　　xxlimyna

　　x

　　定理2 单调有界数列一定收敛。

　　单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

　　例：证明：limx0sinxx1

　　例：

　　limx0

　　例：证明：lim(1xtanxx

　　limx01cosxxlimx0arcsinxx

　　1x)有界。求 lim(1)x的极限

　　xx1x

　　第七节：无穷小的比较

　　定义：若,为无穷小

　　limlim0c0c01且

　　limlimlim

　　K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

　　1、若,为等价无穷小，则()

　　2、若～1、～1且

　　lim1111存在，则： limlim

　　例：

　　limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

　　第八节：函数的连续性与间断点

　　一、函数在一点的连续性

　　函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

　　f(x00)f(x0)f(x00)

　　或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

　　limf(x)f(x0)

　　其形式定义如下：

　　xx00x(xx0)f(x)f(x0)

　　函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

　　连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

　　二、间断点

　　若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

　　1、第一类间断点：

　　f(x00)f(x00)

　　即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

　　例：见教材

　　第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

　　一、连续函数的四则运算

　　1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

　　xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

　　3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

　　xDf是严格单调增加（减少）并且连续

　　反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

　　注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

　　1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

　　yf1(x)xDf1

　　复合函数的连续性定理：

　　设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

　　注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

　　xx0limf(g(x))f(limg(x))

　　xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

　　第十节：闭区间上连续函数的性质

　　一、最大、最小值

　　设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

　　D1yyf(x),xD

　　中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

　　xD

　　类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

　　二、有界性

　　xDff(x)称为函数在上的最小值。

　　有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

　　三、零点、介值定理

　　最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

　　f()f(x)f(),亦即

　　xa,b

　　f()min xa,bf(x)

　　f()maxf(x)

　　xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

　　零点定理：

　　如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

　　中值定理：

　　如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

　　作业：见课后各章节练习。

高等数学课件 篇7

　　高等数学教案

　　微分方程

　　第七章

　　微分方程

　　教学目的：

　　1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

　　3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

　　5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

　　6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

　　7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

　　8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：

　　1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

　　(n)

　　2、可降阶的高阶微分方程yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

　　3、二阶常系数齐次线性微分方程；

　　4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

　　教学难点：

　　1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

　　2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

　　3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

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　　微分方程

　　§7 1 微分方程的基本概念

　　函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

　　例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

　　解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

　　dy2x

　　(1)

　　dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

　　x1时 y2 简记为y|x12

　　(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

　　y2xdx 即yx2C

　　(3)其中C是任意常数

　　把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

　　212C

　　由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

　　yx21

　　例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

　　解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 d2s0.

　　(4)dt2此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

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　　微分方程

　　t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20

　　(5)

　　t0t0dt

　　把(4)式两端积分一次 得

　　vds0.4tC

　　(6)1dt再积分一次 得

　　s02t2 C1t C2

　　(7)这里C1 C2都是任意常数

　　把条件v|t020代入(6)得

　　20C1

　　把条件s|t00代入(7)得0C2

　　把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

　　v04t 20

　　(8)

　　s02t220t

　　(9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

　　t2050(s)

　　0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

　　s025022050500(m)

　　几个概念

　　微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

　　常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

　　偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

　　微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

　　x3 yx2 y4xy3x2 

　　y(4)4y10y12y5ysin2x

　　y(n)10

　　一般n阶微分方程

　　F(x y y

　　    y(n))0

　　y(n)f(x y y

　　    y(n1))

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　　微分方程

　　微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

　　F[x (x) (x)    (n)(x)]0

　　那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n))0在区间I上的解

　　通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

　　初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

　　xx0 时 yy0  y y0 

　　一般写成

　　

　　yxx0y0 yxx0y0

　　特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

　　初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

　　如求微分方程yf(x

　　y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

　　yf(x,y)

　　 yxx0y0

　　积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

　　d2xk2x0

　　例3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt是微分方程

　　的解

　　dt

　　2解 求所给函数的导数

　　dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)

　　

　　1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt

　　k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0

　　d2xk2x0

　　这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解

　　dt三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程

　　x| t0 A x| t0 0 的特解

　　解

　　由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得

　　C1A

　　再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得

　　C20

　　把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得

　　xAcos kt

　　作业：P298：4

　　d2xk2x0的通解 求满足初始条件 2dt

　　§7 2 可分离变量的微分方程

　　观察与分析

　　1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C

　　一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

　　2 求微分方程y2xy2 的通解

　　因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

　　接积分不能求出通解

　　为求通解可将方程变为

　　 1dy2xdx 两边积分 得

　　y21x2C1  或y2yxC三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案

　　微分方程

　　可以验证函数y1是原方程的通解

　　x2C

　　一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx

　　形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

　　G(y)F(x)C

　　由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

　　对称形式的一阶微分方程

　　一阶微分方程有时也写成如下对称形式

　　P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

　　若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

　　dyP(x,y)

　　dxQ(x,y)dxQ(x,y)

　　dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

　　可分离变量的微分方程

　　如果一个一阶微分方程能写成

　　g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

　　讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

　　是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

　　是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

　　不是

　　(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

　　是 10ydy10xdx(6)yxy

　　不是 yx三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　可分离变量的微分方程的解法

　　第一步

　　分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

　　第二步

　　两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

　　第三步

　　求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

　　例1 求微分方程dy2xy的通解

　　dx

　　解

　　此方程为可分离变量方程 分离变量后得

　　1dy2xdx

　　y1dy2xdx

　　y两边积分得

　　即

　　ln|y|x2C1

　　从而

　　yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

　　yCex

　　例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

　　解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM

　　dtdMM

　　dtdM0

　　dt

　　由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0

　　将方程分离变量得

　　dMdt

　　M三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　两边积分 得dM()dt

　　M即

　　lnMtlnC 也即MCet

　　由初始条件 得M0Ce0C

　　所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

　　例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

　　解

　　设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

　　mdvmgkv

　　dt初始条件为

　　v|t00

　　方程分离变量 得

　　dvdt

　　mgkvm两边积分 得mgkvm

　　tC

　　m1dvdt

　　ln(mgkv)1kkC1ktmgCem(Ce即

　　v)

　　kkmg将初始条件v|t00代入通解得C

　　kktmg(1em)

　　于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解

　　例4 求微分方程dx

　　解 方程可化为

　　dy(1x)(1y2)

　　dx分离变量得

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　　微分方程

　　1dy(1x)dx

　　1y21dy(1x)dx 即1x2xC

　　arctany1y22两边积分得

　　于是原方程的通解为ytan(x2xC)

　　作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3

　　§7 3 齐次方程

　　齐次方程

　　如果一阶微分方程12dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程

　　xx

　　下列方程哪些是齐次方程？

　　dyyy2x2dyyy

　　(1)xyyyx0是齐次方程()21

　　dxxdxxx22dy1y

　　2(2)1xy1y不是齐次方程

　　dx1x222dyx2y2dyxy

　　(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22

　　(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程

　　(5)(2xshdy2xy4

　　dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程

　　xxx三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　yy2xsh3ychdyxxdy2thyy 

　　ydxdx3xx3xchx

　　齐次方程的解法

　　在齐次方程

　　ux分离变量 得

　　ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u)

　　dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得

　　求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解

　　xdydyxy

　　dxdx

　　例1 解方程y2x2

　　解

　　原方程可写成

　　y2()dyyx

　　

　　2ydxxyx1x2因此原方程是齐次方程 令

　　yux 于是原方程变为

　　ux即

　　xyu 则 xdyuxdu

　　dxdxduu2

　　dxu1duu

　　dxu1分离变量 得

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　　微分方程

　　(1)du1udx

　　x两边积分 得uln|u|Cln|x|

　　或写成ln|xu|uC

　　以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x

　　ln|y|yC

　　x

　　例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程

　　解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM

　　因为

　　OAAPOPPMcotOP而

　　OMx2y2

　　于是得微分方程

　　yx

　　yyxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程

　　dyyydxx(x)21

　　dyyy

　　问题归结为解齐次方程

　　令即

　　yxvdvvv21 即xyv 得vy

　　dyydvv21 dy分离变量 得dvdy

　　v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　y22yv1

　　C2C以yvx代入上式 得y22C(xC)

　　2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为

　　y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程

　　例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程

　　解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度

　　v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx

　　dyvydtdtx, y) v(abx, by)

　　x2y2x2y2x2y2x2y2另一方面 vab(a, 0)b(因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x

　　dybyydyvybyydxa(x)21x

　　dybyy

　　问题归结为解齐次方程

　　令

　　yxu 即xyu 得 yduau21 dyb分离变量 得duady

　　u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b]

　　将u代入上式并整理 得xy2C三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　以x|yh0代入上式 得C1 故鸭子游过的轨迹方程为 haay1by1bh()] 0yh

　　x[()2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程

　　yaarshxb(lnylnC)

　　yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bby1b1b1aax[(Cy)(Cy)]x[(Cy)a(Cy)a]

　　2C2bbb作业：P309：1（1）（3）（5），2

　　§7.4 线性微分方程

　　一、线性方程

　　线性方程

　　方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

　　dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

　　方程

　　下列方程各是什么类型方程？

　　(1)(x2)

　　(2)3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

　　(3)yy cos xesin x  是非齐次线性方程

　　(4)dy10xy 不是线性方程 dx三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　3dy3(y1)2dydxxx00或

　　(5)(y1) 不是线性方程

　　dxdydx(y1)2x

　　32齐次线性方程的解法

　　齐次线性方程

　　dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx

　　y两边积分 得

　　ln|y|P(x)dxC1

　　P(x)dx(CeC1)

　　或

　　yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

　　例

　　1求方程(x2)dyy的通解

　　dx

　　解

　　这是齐次线性方程 分离变量得

　　dydx

　　yx2两边积分得

　　ln|y|ln|x2|lnC

　　方程的通解为

　　yC(x2)

　　非齐次线性方程的解法

　　将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

　　P(x)dx

　　yu(x)e

　　设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

　　P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

　　u(x)e化简得

　　u(x)Q(x)eP(x)dx

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　　微分方程

　　u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

　　于是非齐次线性方程的通解为

　　P(x)dxP(x)dx

　　ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或

　　yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

　　5dy2y(x1)2的通解

　　例2 求方程dxx1

　　解

　　这是一个非齐次线性方程

　　先求对应的齐次线性方程分离变量得

　　dy2y0的通解

　　dxx1dy2dx

　　yx1两边积分得

　　ln y2ln(x1)ln C

　　齐次线性方程的通解为

　　yC(x1)2

　　用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

　　52u(x1)2(x1)2

　　u(x1)2u(x1)x12

　　1u(x1)2

　　两边积分 得 u(x1)2C

　　3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32

　　y(x1)[(x1)2C]

　　323

　　例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)

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　　微分方程

　　解

　　由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L

　　EL即

　　di 由回路电压定律得出 dtdiiR0

　　dtdiRiE

　　dtLLdiRiEmsin t

　　dtLL

　　把EEmsin t代入上式 得

　　初始条件为

　　i|t00

　　diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中

　　dtLLER t

　　P(t) Q(t)msinLL

　　方程由通解公式 得

　　i(t)eP(t)dtdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC)

　　LRRRttEmReL(sinteLdtC)

　　LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL

　　222RL其中C为任意常数

　　将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为

　　t LEmREmLe(Rsin t Lcos t)

　　i(t)2R2L2R22L2 LEm

　　R22L

　　2二、伯努利方程

　　伯努利方程 方程

　　dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程

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　　高等数学教案

　　微分方程

　　下列方程是什么类型方程？

　　(1)

　　(2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy

　　1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx

　　(4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx

　　伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得

　　yn令z y1n  得线性方程

　　dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

　　dxdyya(lnx)y2的通解

　　例4 求方程dxx

　　解 以y2除方程的两端 得

　　y2dy11yalnx

　　dxxd(y1)11yalnx

　　即

　　dxx令zy1 则上述方程成为

　　dz1zalnx

　　dxxa2这是一个线性方程 它的通解为

　　zx[C(lnx)2]

　　以y1代z  得所求方程的通解为

　　yx[C(lnx)2]1

　　经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程

　　例

　　5解方程 a2dy1

　　dxxy三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案

　　微分方程

　　解

　　若把所给方程变形为

　　dxxy

　　dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程

　　令xyu 则原方程化为

　　du11 即duu1

　　dxudxu分离变量 得

　　ududx

　　u1两端积分得

　　uln|u1|xln|C|

　　以uxy代入上式 得

　　yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1

　　作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

　　§7 5可降阶的高阶微分方程

　　一、y(n)f(x)型的微分方程

　　解法 积分n 次

　　y(n1)f(x)dxC1 

　　y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 

　　  

　　例1 求微分方程ye2xcos x 的通解

　　解 对所给方程接连积分三次 得

　　ye2xsinxC1

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　　12高等数学教案

　　微分方程

　　ye2xcosxC1xC2

　　ye2xsinxC1x2C2xC3

　　这就是所给方程的通解

　　或

　　ye2xsinx2C1

　　ye2xcosx2C1xC2

　　ye2xsinxC1x2C2xC3

　　这就是所给方程的通解

　　例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律

　　解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为

　　2dx

　　m2F(t)

　　dt141812121418由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而

　　F(t)F0(1)

　　于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t)

　　

　　Tdt2mdx|0 其初始条件为x|t00

　　dtt0

　　把微分方程两边积分 得

　　dxF0(tt2)C

　　1

　　dtm2T再积分一次 得

　　F012t x(t)C1tC2

　　m26T由初始条件x|t00 得C1C20

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　　dx|0

　　dtt0高等数学教案

　　微分方程

　　于是所求质点的运动规律为

　　x

　　二、y f(x y)型的微分方程

　　解法 设yp则方程化为

　　pf(x p)

　　设pf(x p)的通解为p(xC1) 则

　　F012t3(t) 0tT

　　m26Tdy(x,C1)

　　dx原方程的通解为

　　y(x,C1)dxC2

　　例3 求微分方程

　　(1x2)y2xy 满足初始条件

　　y|x01 y|x03 的特解

　　解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有

　　dp2xdx

　　p1x2两边积分 得

　　ln|p|ln(1x2)C

　　即

　　pyC1(1x2)(C1eC)

　　由条件y|x03 得C13

　　所以

　　y3(1x2)

　　两边再积分 得 yx33xC2

　　又由条件y|x01 得C21

　　于是所求的特解为

　　yx33x1

　　例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?

　　三、yf(y y)型的微分方程

　　解法 设yp有

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　　微分方程

　　y原方程化为 dpdpdydpp

　　dxdydxdydpf(y,p)

　　dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy

　　p

　　dy(y,C1)xC2

　　dp

　　dy

　　例5 求微分yyy20的通解

　　解 设yp 则yp代入方程 得

　　ypdp2p0

　　dy

　　在y0、p0时 约去p并分离变量 得

　　dpdy

　　py两边积分得

　　ln|p|ln|y|lnc

　　即

　　pCy或yCy(Cc)

　　再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为

　　ln|y|Cxlnc1

　　或

　　yC1eCx(C1c1)

　　作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

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　　微分方程

　　§7 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例

　　例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点

　　给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t)

　　设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx

　　又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则

　　Rdx

　　dt

　　由牛顿第二定律得

　　md2xcxdx

　　2dtdt

　　移项 并记2nc k2

　　mmd2x2ndxk2x0则上式化为

　　

　　dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程

　　如果振动物体还受到铅直扰力

　　FHsin pt 的作用 则有

　　d2x2ndxk2xhsinpt

　　

　　dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程

　　m

　　例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数

　　设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道

　　iqdqdi uc ELL

　　Cdtdt三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　根据回路电压定律 得

　　ELdiqRi0

　　dtCd2ucducRCucEmsint

　　即

　　LC2dtdt或写成

　　d2ucducEm22usint

　　0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC

　　如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为

　　d2ucduc220uc0

　　2dtdt

　　二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为

　　yP(x)yQ(x)yf(x)

　　若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

　　二、线性微分方程的解的结构

　　先讨论二阶齐次线性方程

　　d2ydyQ(x)y0

　　yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx

　　定理

　　1如果函数y1(x)与y2(x)是方程

　　yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么

　　yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数

　　齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理

　　证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

　　[C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

　　因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有

　　y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20

　　从而

　　[C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2]

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　　微分方程

　　C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000

　　这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解

　　函数的线性相关与线性无关

　　设y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2     kn 使得当xI 时有恒等式

　　k1y1(x)k2y2(x)

　　    knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关

　　判别两个函数线性相关性的方法

　　对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关

　　例如 1 cos2x  sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的

　　定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程

　　yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么

　　yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解

　　例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解

　　解 因为

　　y1y1cos xcos x0

　　y2y2sin xsin x0

　　所以y1cos x与y2sin x都是方程的解

　　因为对于任意两个常数k1、k2 要使

　　k1cos xk2sin x0

　　只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的

　　因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解

　　方程的通解为yC1cos xC2sin x

　　例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解

　　解 因为

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　　微分方程

　　(x1)y1xy1y10xx0

　　(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0

　　所以y1x与y2ex都是方程的解

　　因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的

　　因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解

　　方程的通解为yC1xC2e x

　　推论 如果y1(x) y2(x)    yn(x)是方程

　　y(n)a1(x)y(n1)    an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为

　　yC1y1(x)C2y2(x)     Cnyn(x)

　　其中C1 C2    Cn为任意常数

　　二阶非齐次线性方程解的结构

　　我们把方程

　　yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程

　　yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程

　　定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程

　　yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么

　　yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解

　　证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)]

　　 [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]

　　0 f(x) f(x)

　　例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此

　　yC1cos xC2sin xx22 是方程yyx2的通解

　　定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如

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　　微分方程

　　yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)

　　而y1*(x)与y2*(x)分别是方程

　　yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解

　　证明提示

　　[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*]

　　[ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*]

　　f1(x)f2(x)

　　作业：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

　　§7 7 二阶常系数齐次线性微分方程

　　二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

　　如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

　　我们看看

　　能否适当选取r 使yerx

　　满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

　　ypyqy0 得

　　(r 2prq)erx 0

　　由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

　　特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

　　pp24q

　　r 1,22求出

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　　微分方程

　　特征方程的根与通解的关系

　　(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解

　　这是因为

　　函数y1er1x、y2er2x是方程的解 又因此方程的通解为

　　yC1er1xC2er2x

　　(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

　　这是因为 y1er1x是方程的解 又

　　r1xr1x2r1x

　　(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x

　　2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0

　　y1er1x(r1r2)x不是常数

　　ey2er2xy2xer1xx不是常数

　　所以y2xe也是方程的解 且y1er1xr1x

　　因此方程的通解为

　　yC1er1xC2xer1x

　　(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

　　函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

　　y1e(i)xex(cosxisinx)

　　y2e(i)xex(cosxisinx)

　　1y1y22excosx excosx(y1y2)

　　2三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　1y1y22iexsinx exsinx(y1y2)

　　2i故excosx、y2exsinx也是方程解

　　可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

　　因此方程的通解为

　　yex(C1cosxC2sinx)

　　求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

　　第一步

　　写出微分方程的特征方程

　　r2prq0 第二步

　　求出特征方程的两个根r1、r2

　　第三步

　　根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

　　例1 求微分方程y2y3y0的通解

　　解 所给微分方程的特征方程为

　　r22r30 即(r1)(r3)0

　　其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

　　yC1exC2e3x

　　例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0

　　4、y| x02的特解

　　解 所给方程的特征方程为

　　r22r10 即(r1)20

　　其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

　　y(C1C2x)ex

　　将条件y|x04代入通解 得C14 从而

　　y(4C2x)ex

　　将上式对x求导 得

　　y(C24C2x)ex

　　再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

　　x(42x)ex

　　例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

　　解 所给方程的特征方程为

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　　微分方程

　　r22r50

　　特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根

　　因此所求通解为

　　yex(C1cos2xC2sin2x)

　　n 阶常系数齐次线性微分方程 方程

　　y(n)p1y(n1)p2 y(n2)     pn1ypny0

　　称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1

　　p2      pn1 pn都是常数

　　二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去

　　引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

　　L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

　　(Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy   Dnyy(n)

　　分析 令yerx 则

　　L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn)erxL(r)erx

　　因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解

　　n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

　　L(r)rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程

　　特征方程的根与通解中项的对应

　　单实根r 对应于一项 Cerx 

　　一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)

　　k重实根r对应于k项 erx(C1C2x    Ck xk1)

　　一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项

　　ex[(C1C2x    Ck xk1)cosx(D1D2x    Dk xk1)sinx]

　　例4 求方程y(4)2y5y0 的通解

　　解

　　这里的特征方程为

　　r42r35r20 即r2(r22r5)0

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　　微分方程

　　它的根是r1r20和r3 412i

　　因此所给微分方程的通解为

　　yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)

　　例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0

　　解

　　这里的特征方程为

　　r4 40

　　它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)

　　因此所给微分方程的通解为

　　ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x)

　　作业：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

　　§7 8 二阶常系数非齐次线性微分方程

　　二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

　　ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数

　　二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

　　yY(x) y*(x)

　　当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法

　　一、f(x)Pm(x)ex 型

　　当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

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　　高等数学教案

　　微分方程

　　Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

　　(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式

　　Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

　　通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm 并得所求特解

　　y*Qm(x)ex

　　(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式

　　Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

　　成立 Q(x)应设为m1 次多项式

　　Q(x)xQm(x)

　　Qm(x)b0xm b1xm1   

　　bm1xbm 

　　通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1   

　　 bm 并得所求特解

　　y*xQm(x)ex

　　(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式

　　Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

　　成立 Q(x)应设为m2次多项式

　　Q(x)x2Qm(x)

　　Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

　　通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm  并得所求特解

　　y*x2Qm(x)ex

　　综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如

　　y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2

　　例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

　　解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)

　　与所给方程对应的齐次方程为

　　y2y3y0

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　　微分方程

　　它的特征方程为

　　r22r30

　　由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为

　　y*b0xb1

　　把它代入所给方程 得

　　3b0x2b03b13x1

　　比较两端x同次幂的系数 得

　　3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为

　　y*x

　　例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

　　解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2)

　　与所给方程对应的齐次方程为

　　y5y6y0

　　它的特征方程为

　　r25r 60

　　特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

　　YC1e2xC2e3x 

　　由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

　　y*x(b0xb1)e2x

　　把它代入所给方程 得

　　2b0x2b0b1x

　　比较两端x同次幂的系数 得

　　13132b01 2b01 2b0b10 2bb001三峡大学高等数学课程建设组

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　　微分方程

　　由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 121 y*x(x1)e2x

　　从而所给方程的通解为

　　yC1e2xC2e3x(x22x)e2x

　　提示

　　y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

　　[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

　　[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

　　y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

　　方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

　　应用欧拉公式可得

　　ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

　　ex[Pl(x)12ei xei xP(x)ei xei x] n22i

　　[Pe(i)x[Pe(i)x

　　l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)]

　　P(x)e(i)xP(x)e(i)x

　　其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n}

　　设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

　　则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解

　　其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

　　于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

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　　12121212高等数学教案

　　微分方程

　　y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

　　xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)

　　xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

　　综上所述 我们有如下结论

　　如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程

　　ypyqyf(x)的特解可设为

　　y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

　　其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1

　　例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

　　解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

　　且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0）

　　与所给方程对应的齐次方程为

　　yy0

　　它的特征方程为

　　r210

　　由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

　　y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

　　把它代入所给方程 得

　　(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

　　比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x

　　提示

　　y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

　　y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

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　　134

　　91349高等数学教案

　　微分方程

　　(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

　　y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

　　(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

　　y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

　　3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0作业：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

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高等数学课件 篇8

　　一、教学背景分析

　　1．教学内容分析

　　本节课是高中数学（北师大版必修5）第一章第3节第二课时,是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。本节以数学文化背境引入课题有助于提升学生的创新思维和探索精神,是提高数学文化素养和培养学生应用意识的良好载体。

　　2．学情分析

　　从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二理科班的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不完全。

　　二．教学目标

　　依据新课程标准及教材内容，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：

　　1、知识与技能目标:理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

　　2．过程与方法目标：感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。

　　3、情感与态度目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。

　　三．重点,难点

　　教学重点：等比数列前“等比数列的前n项和”项和公式的推导及其简单应用。

　　教学难点：公式的推导思想方法及公式应用中q与1的关系。

　　四．教学方法

　　启发引导，探索发现，类比。

　　五．教学过程

　　（一）借助数学文化背境提出问题

　　在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

　　【设计意图】：设计这个数学文化背境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容也紧扣本节课的主题与重点。

　　问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？

　　引导学生写出麦粒总数“等比数列的前n项和”

　　（二）师生互动，探究问题

　　问题2：“等比数列的前n项和”

　　有些学生会说用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）

　　问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？

　　（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

　　问题4：如果我们把（1）式每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到（2）式：

　　“等比数列的前n项和”

　　比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项）

　　问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：“等比数列的前n项和”

　　【设计意图】：这五个问题层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇。

　　问题6：老师指出这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思为什么（1）式两边要同乘以2呢？

　　【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫。

　　（三）类比联想，构建新知

　　这时我再顺势引导学生将结论一般化。

　　问题7：如何求等比数列“等比数列的前n项和”的前“等比数列的前n项和”项和“等比数列的前n项和”：

　　即:“等比数列的前n项和”

　　(学生相互合作,讨论交流，老师巡视课堂，并请学生上台板演。)

　　注：学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，教师可放手让学生探究。

　　将“等比数列的前n项和”两边同时乘以公比“等比数列的前n项和”后会得到“等比数列的前n项和”，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前“等比数列的前n项和”项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师在突出强调，加深印象。

　　两式作差得到“等比数列的前n项和”时，肯定会有学生直接得到“等比数列的前n项和”，不忙揭露错误，后面再反馈这个易错点，从而掌握公式的本质。

　　【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成就感。增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

　　问题8:由“等比数列的前n项和”得“等比数列的前n项和”对不对呢？这里的“等比数列的前n项和”能不能等于1呀？等比数列中的公比能不能为1？那么“等比数列的前n项和”时是什么数列？此时“等比数列的前n项和”？你能归纳出等比数列的前n项和公式吗？（这里引导学生对“等比数列的前n项和”进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）

　　再次追问：结合等比数列的通项公式“等比数列的前n项和”,如何把“等比数列的前n项和”用“等比数列的前n项和”、“等比数列的前n项和”、“等比数列的前n项和”表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

　　公式：

　　“等比数列的前n项和”

　　注：公式的理解

　　知三求二：nqa1anSn；

　　n的含义：项数（通项公式是qn－1）；

　　q的含义：公比（注意q=1，分类讨论）；

　　错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。

　　【设计意图】：通过反问学生归纳，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

　　（四）讨论交流，延伸拓展

　　问题9:探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？

　　“等比数列的前n项和”（学生讨论交流，老师指导。依学生的认知水平可能会有以下几种方法）

　　（1）错位相减法

　　“等比数列的前n项和”（2）提出公比q

　　“等比数列的前n项和”（3）累加法

　　【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围、这有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用、

　　(五)应用公式，深化理解

　　例1：在等比数列{an}中，

　　(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；

　　(2)已知a1=8，q=1/2，an=1/2，求Sn；

　　(3)已知a1=－1、5，a4=96，求q与S4；

　　(4)已知a1=2，S3＝26，求q与a3。

　　【设计意图】：初步应用公式，理解等比数列的基本量也可“知三求二”，体会方程思想。

　　例2：等比数列{an}中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1与q。

　　【设计意图】：注意公式中的分类讨论思想。

　　例3：求数列{n+}的前n项和。

　　【设计意图】：将未知问题转化为已知问题，进一步体会等比数列前n项和公式的应用。

　　练习1：求等比数列“等比数列的前n项和”前8项和；

　　练习2：a3=，S9=，求a1和q；

　　练习3：求数列{n+an}的前n项和。

　　（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予适时的表扬。)

　　【设计意图】：通过练习，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思想．

　　（六）总结归纳，加深理解

　　问题10:这节课你有什么收获？学到了哪些知识和方法？

　　【设计意图】：以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法等方面总结。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

　　（学生小结归纳，不足之处老师补充说明。）

　　1．公式：等比数列前n项和

　　当q≠1时,Sn==

　　当q=1时,Sn=na1

　　2．方法：错位相减法（乘以公比）

　　3．思想：分类讨论（公式选择）

　　（七）故事结束，首尾呼应

　　最后我们回到故事中的问题，可以计算出国王奖赏的小麦约为1、84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺了。

　　【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。

　　（八）课后作业，分层练习

　　（1）阅读本节内容，预习下一节内容；

　　（2）书面作业：习题P308、10；

　　（3）拓展作业：求和：“等比数列的前n项和”

　　【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

高等数学课件 篇9

　　-----

　　y ,或 {x0xa}.记为5.点6.点7.函数是实数集到实数集的映射U(a , )a(a , a)a(a , a)f的左邻域: 的右邻域: 中有唯一的实数

　　...单值函数是指对于定义域

　　Df内的任何实数

　　x，在值域Rf 其中y与之对应，记作

　　yf(x)xDfxy，称为自变量，称为因变量.，8.函数的自然定义域: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.9.绝对值函数: x , x0 ,xx , x0.10.符号函数:

　　-----高等数学教案-----

　　 1 , x0,sgn(x) 0 , x0,1 , x0.11.取整函数:

　　xn , nxn1(n0 , 1 , 2 , )x x3.233.24330.50.其中表示不超过的最大整数.例如，.，即定义域为

　　x0P42211x01x00x1[1 , 0)(0 , 1]③.解: 令，得

　　或

　　.，练习1.求函数的定义域.1f(x)lnx3.-----高等数学教案-----x31 , x2 , 解: 令x30 , 得

　　x3 ,即定义域为

　　x31 ,x4 ,D( , 2)(2 , 3)(3 , (4 , ).练习2.求函数的定义域.ycosx2.解: 令cosx20，得

　　0x222k2x22k2，x2x2

　　-----高等数学教案-----

　　4)或即定义域为 或

　　2kx2k222

　　或

　　2kx2k.的定义域为，数集

　　.12.函数的有界性: 设对任一在对任一在(k1 , 2 , )}f(x)DXDK1f(x)K1xXf(x)XK1f(x)XK2f(x)K2xXf(x)XK2f(x)XM①.如果存在数，使得，都成立，则称

　　在上有上界，而

　　为上的一个上界.②.如果存在数，使得，都成立，则称

　　在上有下界，为上的一个下界.③.如果存在正数，使得

　　-----高等数学教案-----对任一④.如果对于任何正数则称13.函数的单调性: 设①.如果对于区间则称②.如果对于区间则称14.函数的奇偶性: 设函数①.如果对于任一f(x)MxXf(x)XMx0Xf(x0)Mf(x)Xf(x)DIDIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)IIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)If(x)DxD，都成立，则称

　　在上有界.，总存在，使得，在上无界.的定义域为，区间上任意两点

　　及，当，在区间

　　上是单调增加的.上任意两点

　　及，当

　　时，恒有，在区间

　　上是单调减少的.的定义域

　　关于原点对称，.时，恒有

　　-----高等数学教案-----恒成立，则称②.如果对于任一恒成立，则称15.函数f(x)f(x)f(x)xDf(x)f(x)f(x)yf(x)Df为奇函数.，为偶函数.的定义域为，值域为

　　Rf，如果

　　f是一一映射，则f存在逆映射f1:

　　RfDf1，即对于任意

　　yRf1为，有唯一的记作 xDf，使得

　　f(x)yf，称，f的反函数，xf(y)yRf 16.设函数

　　.yf(u)的定义域为的定义域为

　　Df，且，值域为

　　Rf;函数ug(x)由下式确定的函数

　　Dg，值域为

　　RgRgDf，则yf[g(x)] xDg，-----高等数学教案-----称为由ug(x)yf(u)uy与中间变量，因变量.构成的复合函数.x自变量，P1422 ④.解：yex2.yee1yeee，①.幂函数x2102x2212.17.基本初等函数: yx（为实数）.②.指数函数ya(a0 , a1).x，特例③.对数函数特例yeylogax(a0 , a1)ylogexlnx.④三角函数 x，ysinx ycosxytanxycotxysecxycscx，，⑤反三角函数，.-----高等数学教案-----yarcsinxyarccosx yarctanxyarccotx，.，18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.19.双曲函数

　　①双曲正弦②双曲余弦③双曲正切

　　eeshx2xxeechx2xxshxeethxxxchxee..xx.§1.2 数列的极限

　　1.如果按照某一法则，对每个

　　nN，对应着一个确定的数照下标nxn，这些实数

　　xn按从小到大排列得到的一个序列

　　叫做数列，简记为数列般项.x1 , x2 ,  , xn , nxnxn，数列中的每一个数叫做数列的项，-----

　　当自变量例如.① xnf(n)nNnxn111 , ,  , , 2n，.依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排成数列

　　;

　　.②

　　1(1)1 , 0 , 1 , 0 ,  , , 21 , 2 ,  , n , 1 , 1 , 1 ,  , 1 , n248234n12 , , ,  , , 23nnanxnaxnxna;③

　　;④

　　;⑤

　　2.深刻理解数列极限的概念.当无限增大时(即

　　时)，对应的项

　　无限接近于某个确定的数值，称常数是数列的极限.无限接近于

　　是什么含意? 考察数列

　　-----高等数学教案-----

　　n134n12 , , ,  , , 23nn11xn1nxnn1xn1n0.110n101xn10.1n0.01100n1001xn10.01n11[]n[]

　　当时，无限接近于，也就是说

　　与要多小就有多小.比如说: ①给定，在-----它多么小），总存在正整数都成立，那么称常数NnNxnaaxnxnalimxnaxna(n)n，使得当

　　时，不等式

　　是数列的极限，或者称数列

　　收敛于

　　或，正整数，当，则称数列

　　以，记为

　　.0NnNxnaxnalimxnan0NxnaN1NxNaxnalim0.99991P3 313'.对于

　　.4.数列不以

　　为极限的定义:，对于

　　正整数，使得，则称数列

　　时，为极限，记为，1不以为极限.④证: 等价于

　　nn个1lim(1n)1n10.-----高等数学教案-----对于

　　只要011(1n)1n101011nlgN[lg]nN，要使

　　，取

　　，当时，1(1n)1101lim(1n)1n10lim0.99991nn个5.有界数列: 对于数列，所以，故

　　.xn，如果存在正数

　　M，使得对于任意

　　n，不等式

　　都成立，那么称数列无界数列: 对于数列xnMxnxn

　　是有界的.，如果对于任意正数

　　M，存在正整数

　　N，使得不等式

　　-----高等数学教案-----成立，那么称数列 6.子数列: 在数列序,这样得到的数列xNMxnxnxn，是无界的.k中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列

　　称为原数列

　　xnxn中的先后次的子数列.7.收敛数列的性质.①唯一性: 如果数列②有界性: 如果数列xnxn收敛，那么它的极限唯一.收敛，那么数列

　　xn一定有界.③保号性: 如果 推论: 如果数列limxnaa0a0nNnNxn0xn0xnxn0xn0limxnaa0a0n，且

　　(或，当

　　时，都有

　　(或

　　从某项起有

　　(或，那末

　　(或).④.数列)，那末).)，且xn敛，且有相同的极限；若

　　xxxxx与子数列

　　n的关系: 若

　　kn收敛，则

　　n也收

　　kn收敛，则

　　kn不一定收敛.-----高等数学教案-----P31 5xnxnM 证: 由于

　　都成立.对于，由于

　　有界，所以

　　M正数，对于

　　n，不等式

　　当

　　nNyn时，yn0N0limn，所以

　　正整数，故当，使得从而所以

　　MxnynMMlimxnyn0nP31 60x2k1a(k)N1kN1x2k1a时，..证：对于，由于，正整数，使得当

　　时，nN.又由于

　　所以x2ka(k)N2kN2x2ka，正整数，使得当

　　时，.-----高等数学教案-----NMax{2N11 , 2N2}xnanNxna(n)xxx0xx0xx0取时，.§1.3 函数的极限 1.自变量的六种变化趋势.① :，任意地接近于有限值

　　.②，当

　　所以xxxx0xx0xx0xx0xx0xxxxxxxf(x)xx0f(x)x0A0xx0f(x)，任意地接近于有限值

　　.③ :，任意地接近于有限值

　　.④⑤

　　: :

　　沿着数轴负向无限远离原点.沿着数轴正向无限远离原点.⑥ : 的绝对值

　　无限增大.2.函数当

　　时的极限: 设函数

　　在点一去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，使得当

　　时，对应的函数值不等式

　　-----高等数学教案----- : 0的某

　　（不论它多么小），总存在正数

　　都满足那么常数f(x)AAf(x)xx0limf(x)A，就叫做函数

　　当

　　时的极限，记作

　　或

　　取f(x)A(xx0)0P5382x4(4)x(2)x20x(2).③.证: 对于，要使，当

　　时xx0，某一左邻域内有定义.对于x4(4)x(2)x22x4lim4x2x2f(x)xx0f(x)x000.3.函数当

　　时的左极限: 设函数

　　在点，2，所以的，当

　　-----高等数学教案-----0x0xxx04.函数

　　或

　　时，f(x)A0.，则limf(x)Af(x)A当

　　时的右极限: 设函数某一右邻域内有定义.对于f(x)xx0f(x)x0000xx0f(x)A在点，时，的，当，则limf(x)Af(x)Axx0或 5.函数

　　0.f(x)xx0当

　　时的极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在且相等，即

　　limf(x)Axx0

　　limf(x)limf(x)Axx0xx0.P438limf(x)lim11.解: ①，x0x0

　　-----高等数学教案-----limf(x)lim11x0于

　　.由limf(x)limf(x)1x0x0.x0，所以limf(x)1x0②

　　lim(x)lim(1)1lim(x)lim11x0x0由于，x0x0.lim(x)lim(x)lim(x)x0，所以

　　不存在

　　x0x0练习1.设函数(A)

　　x2limf(x)f(x)x2x2101，则.(B).(C)

　　.当

　　时的极限: 设函数

　　在为.(D)不存在.[ D ] 6.函数一正数时有定义.如果存在常数使得当f(x)xf(x)xXAxXf(x)，对于任意给定的正数

　　（不论它多么小），总存在正数时，对应的函数值

　　都满足不等式

　　大于某，-----高等数学教案-----那么常数f(x)AAf(x)xlimf(x)A，就叫做函数

　　当

　　时的极限，记作

　　或x一负数时有定义.对于时，某一正数时有定义.对于f(x)A(x)f(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xxxlimf(x)Ax.7.函数当

　　时的极限: 设函数

　　在，当，则

　　.8.函数当

　　时的极限: 设函数

　　在，当，则

　　.9.函数当时极限及当

　　时极限都存在且相等，即

　　小于某

　　大于

　　时，时的极限存在的充分必要条件是当

　　-----高等数学教案-----limf(x)limf(x)Axx9.水平渐近线: 若

　　.limf(x)cx或

　　x或 limf(x)climf(x)c是函数，x则称直线ycyf(x)图形的水平渐近线.10.函数极限的性质.①唯一性: 若limf(x)xx00，当

　　存在，此极限唯一.②局部有界性: 若limf(x)Axx.，那末存在常数

　　M0时，和00xx0，且

　　有 ③局部保号性: 若f(x)Mlimf(x)AA0xx0），那末存在，当

　　（或A000xx0时，-----高等数学教案-----有③'若f(x)0f(x)0limf(x)AA0（或）.（），那末存在点xx0x0的某一去心邻域内，使得

　　Af(x)2f(x)0f(x)0x0A0A0limf(x)Axx.推论: 若在点的某一去心邻域内

　　（，那末

　　（）.），且0§1.4 无穷小与无穷大

　　1.无穷小: 若

　　limf(x)0xx0为当

　　（或取limf(x)0f(x)xx0xx0P2421xsinxx0x），则称）时的无穷小.②.证: 对于，要使，当

　　时

　　（或，-----高等数学教案-----2.极限与无穷小的关 系:

　　11yxsinxsinxxxx0limf(x)Af(x)Axx，所以时的无穷小.①

　　.为当0②limf(x)Af(x)Ax为无穷小.在点

　　.其中 3.无穷大: 设函数f(x)x0M000xx0，当的某一去心邻域内有定义.如果对于时，总有

　　那f(x)Mf(x)xx0limf(x)，么称

　　为

　　当

　　.时的无穷大，记作xx03'.无穷大: 设函数f(x)x在大于某一正数时有定义.如果对于

　　-----高等数学教案-----M0X0，那么称，当

　　xX时，总有f(x)Mf(x)x为当

　　时的无穷大，记作limf(x).xP423.① 证: 对于

　　M0，要使

　　1x2x1x2M，而 1x21x2，只要 1x2M，xM1，取M122，当

　　0x

　　-----高等数学教案-----

　　时，有 ②取

　　12x12xMyxxx0140x10212x12xx12x，所

　　以的无穷大.，当

　　时，为当1214102410

　　.-----高等数学教案-----练习1.若limf(x)limg(x)xxxx，00则下列式子成立的是

　　(A)lim[f(x)g(x)]xxlim[f(x)g(x)]xx00.(B).(C)(D)

　　1lim0xxf(x)g(x)1lim0xxf(x)g(x)0..0[ D ] 4.铅直渐近线: 如果

　　limf(x)xx0或

　　limf(x)xx0

　　或 limf(x)xx0是函数，那么称直线xx0yf(x)图形的铅直渐近线.-----高等数学教案-----P342.解：由于

　　所以

　　4limf(x)lim20xx2xy0是水平渐近线.，由于

　　所以 5.无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中，如果

　　4limf(x)lim2x2x22x4limf(x)lim2x2x22xx2x2f(x)1f(x)f(x)0f(x)1f(x)，，都是铅直渐近线.为无穷小；如果

　　为无穷小，且为无穷大.为无穷大，则，则§1.5 极限运算法则 1.无穷小的性质: ①有限个无穷小的和也是无穷小.-----高等数学教案-----②.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积也是无穷小.P4932.①解: 由于当

　　x0x时

　　是

　　当

　　2是无穷小，而

　　1sinx的无

　　穷

　　是有界变量，所以1xsinx0x21limxsin0x0xlimf(x)Alimg(x)Blim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABc时

　　小，故

　　.2.极限的四则运算:，.①..②..推论1: 为常数，-----高等数学教案-----推论2: ③.lim[cf(x)]climf(x)cAnnnnlim[f(x)][limf(x)]Af(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B0)(x)(x)lim(x)alim(x)babxx0nn1f(x)a0xa1xanlimf(x)f(x0).为正整数，..3.极限的单调性: 若，而，则

　　.4.有理整函数(多项式)、有理分式函数当的极限: ①.多项式，.，xx0例1.②.有理分式

　　16lim(x2x1)3231x3P(x)F(x)P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多项式，-----高等数学教案-----Q(x0)00，P(x0)P(x)limF(x)limxxxxQ(x)Q(x0)F(x0)3x1321limlim33x2xxx222122x1limlim(x1)x1x1x122x3lim2x1x3x20.例2..例3..例4.求

　　.解: x3x21312limx12x3213

　　-----高等数学教案-----225.有理分式函数当02x3lim2x1x3x2xmm1a0xa1xamlimnn1xbxbxb01na0 , nm ,b00 , nm ,  , nm.，.的极限:

　　例5.111limn1223n(n1)

　　-----高等数学教案-----

　　111lim[(1)()n223 11()]nn1例6.1lim1nn11na1lima1n1n1aan11aaa1limn1n1aalim(a1)n

　　.（)

　　a1(A).例7.下列数列中收敛的是.nan(1)n1n.-----高等数学教案-----(B)bn12n.(C)(D)11 , n为奇数 ,n2Cn11 , n为偶数.n1n , n为奇数 ,n1Dnn , n为偶数.1n

　　[ C ] 例8.设

　　x1lim(axb)1xx1则有(A)(B)2，(C)a1b0a1b1a1b0，，...-----高等数学教案-----(D)a1b1，.[ C ] 例9.设

　　2x1lim(axb)02xx1则有(A)(B)3，(C)(D)a1b0a2b1a2b0a2b1，.，，...[ C ] 例10.已知

　　求xaxblim5x11xab，的值.2，解: 一方面，lim(xaxb)x122

　　xaxblim(1x)x11x

　　-----高等数学教案-----

　　500.另一方面，lim(xaxb)1abx1所以，即

　　.故

　　2.1ab0ba12xaxblimx11x2xaxa1limx11x(x1)(x1)a(x1)limx11xlim[(x1)a]x1

　　从而 6.复合函数的极限运算法则: 设函数2a2a5a7b6yf[g(x)].，得，.是由函数

　　-----高等数学教案-----ug(x)yf(u)yf[g(x)]x0limg(x)u0limf(u)Axxuu与

　　复

　　合在点，而成，的某去心邻域内有定义，若，且存在0000xU(x0 , 0)g(x)u0，当

　　时，有则

　　，limf[g(x)]limf(u)Axx0uu0 例如..limln(x1)ux1 limlnux2u9§1.6 极限存在准则 两个重要极限 1.准则I 如果数列

　　① ②ln9xnynznynxnzn(n1 , 2 , )limynalimznann.、及

　　满足:

　　，，那么limxnan.准则I' 如果

　　-----高等数学教案-----① ②g(x)f(x)h(x)limg(x)Alimh(x)A，，那么limf(x)A.P564②.解: n(1nn12n2n)n(11n2n2)，n2n2n原式

　　1，而lim2，所以

　　nn2nn1lim11nnn2n2n1.-----高等数学教案-----

　　原

　　式 2.重要极限I: 例1.例2.例3.sinxlim1x0xsin2xsin2xlim2limx0x0x2x212tanxsinx1limlim()x0x0xxcosxsinx1limlimx0xx0cosx12x2sin1cosx2limlim22x0x0xx...-----高等数学教案-----例4.xsin12lim2x0(x)222sinx12lim2x0x2122sin(x1)limx1x12(x1)sin(x1)lim2x1x12sin(x1)lim(x1)lim2x1x1x12

　　.-----高等数学教案-----2例5.求极限.解: sinmxmnlimxsinnxsinmxlimxsinnx(，为非零整数).sin(mmy)xy limy0sin(nny)m1

　　(1)sin(my)limn1y0(1)sin(ny)sin(my)m1(1)mmylimy0n1sin(ny)(1)nnymnm(1)n.3.单调数列:

　　-----高等数学教案-----①.如果数列则称数列②.如果数列x1x2x3xnxn1xnxnx1x2x3xnxn1，单调增加.满足条件: xn满足条件:，则称数列xn单调减少.4.准则II 单调有界数列必有极限.例6.利用极限存在准则证明数列

　　2，22.，证: 记数列的通项为 ①有界性: 222xnxn12xn…的极限存在并求此极限.，则时，.当 假设当所以对任意的n1x122nkxk2nk1xk12xk222nxn2xn0{xn}时，当

　　时，有，是显然的，故数列

　　有界.②单调性:

　　-----高等数学教案-----xn12xnxnxnxn，所以数列{xn}单调增加.由①②可知数列{xn}的极限存在.设此极限为

　　a，则

　　limxn1lim2xn，nn a2a，得a2.4.重要极限II: limx(11xx)elim(1z)1ze.z0例7.limx(11x)xlimx11(1xx)

　　-----高等数学教案-----，例8.tx limtt1(1)t1e.例9.11xxx1limlimxx1x11x1limxxx1111xx12ecsc2xlim(cosx)x

　　

　　.x0

　　-----高等数学教案-----lim(cosx)x021csc2x2

　　2lim[1(sinx)]x021sin2x12

　　 tsinx lim(1t)t0e例10.112t

　　12.x0lim(1x)x01x

　　lim(1x)(1x)1xx0x01x

　　1x lim1xlim1x

　　-----高等数学教案-----

　　1limlim1x1xx01x 1xx01ee

　　1.§1.7 无穷小的比较

　　1.无穷小的比较: 设、都是无穷小，且

　　0.①如果lim0，就说

　　是比

　　高阶的无穷小，().②如果lim，就说

　　是比低阶的无穷小.③如果limc0，就说

　　与

　　是同阶无穷小.-----高等数学教案-----

　　记作

　　limkc0klim1~P59 1 ④如果，就说

　　是关于的 ⑤如果，就说

　　与..解: 由于

　　阶无穷小.是等价无穷小，记作

　　xxxxlimlim02x02xxx02x，232所以 xx2xxP592321xlimlim(1xx)3x11xx1是比

　　高阶无穷小..解: 由于 232，所以1x1x与3是同阶无穷小.由于

　　-----高等数学教案-----

　　1(1x2)12limlim(1x)x11x2x1，所以2.3.几组等价无穷小量: 当1(1x2)1x2()x0x~sinx~tanx~arcsinx与

　　是等价无穷小.与是等价无穷的充分必要条件为

　　.时，~arctanx；

　　x~ln(1x)~e1 ；

　　x；

　　121cosx~x2xa1~xlna a(1x)1~ax(a0)；

　　-----高等数学教案-----

　　.4.等价无穷小量代换: 若~~limlimlim、、、都是无穷小量，且，存在，则，.例1.求limtanxsinxx0sin3x.x022解: 由于当

　　时，x~sinxcosx~122x，所以

　　-----高等数学教案-----，1limtanxsinxx0sin3xlim1cosx x0cosxsin2x12lim2x

　　x0cos21xxlim2

　　x01cosx.例2.求lim(21arcsinx)31x0etanx1.解: 由

　　于

　　当

　　x0

　　-----高等数学教案-----

　　时，(1arcsinx)31~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx1~tanx 所以

　　lim(~1x arcsinx)31x0etanxlim3arcsinx1 x0tanxlim3x

　　x03x.§1.8 函数的连续性与间断点 1.引入记号: 对于函数yf(x)，当

　　xx时，令

　　xxx0yf(x)0f(x

　　则 xx0)，0xyf(x0x)f(x0)，-----高等数学教案-----，，

高等数学课件 篇10

　　-----

　　3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

　　(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

　　-----高等数学教案-----

　　naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

　　-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

　　[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

　　-----高等数学教案-----

　　1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

　　③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

　　(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

　　-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

　　sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

　　111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

　　n124225

　　-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

　　-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

　　n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

　　n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

　　n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

　　n1n1

　　②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

　　①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

　　②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

　　1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

　　11112p3pnp 加括号后:

　　-----高等数学教案-----

　　1n，1111111(pp)(pppp)234567

　　它的各项均不大于级数

　　1111111(pp)(pppp224444

　　111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

　　-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

　　n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

　　2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

　　-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

　　证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

　　n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

　　-----高等数学教案-----

　　un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

　　②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

　　n1nn

　　-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

　　n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

　　-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

　　nn1性.解: 由于

　　nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

　　-----高等数学教案-----un1lim.nun

　　①若1，则un收敛；

　　n1

　　②若1或，则un发

　　n1散；

　　③若1，则un可能收敛也

　　n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

　　n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

　　1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

　　-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

　　①若1，则un收敛；

　　n1

　　②若1或，则un发

　　n1散；

　　③若1，则un可能收敛也

　　n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

　　-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

　　2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

　　u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

　　①unun1；

　　imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

　　n散性.解: 由于

　　-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

　　②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

　　2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

　　而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

　　证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

　　n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

　　n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

　　n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

　　5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

　　522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

　　5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

　　n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

　　-----高等数学教案-----

　　1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

　　1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

　　u1(x0)u2(x0)un(x0)

　　n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

　　2nan(xx0)

　　-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

　　n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

　　nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

　　5.阿贝尔定理的推论: 如果

　　-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

　　①当xR时，幂级数绝对收敛；

　　②当xR时，幂级数发散；

　　③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

　　称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

　　-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

　　nn0an1lim，则 nan

　　-----高等数学教案-----

　　1 , 0且R , 0 ,0 , .

　　(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

　　-----高等数学教案-----

　　(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

　　nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

　　-----高等数学教案-----

　　321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

　　-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

　　(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

　　-----高等数学教案-----

　　nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

　　n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

　　-----高等数学教案-----

　　1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

　　-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

　　n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

　　①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

　　②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

　　0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

　　-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

　　nns(x)anx(anx)

　　n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

　　nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

　　-----高等数学教案-----

　　1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

　　n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

　　-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

　　x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

　　-----高等数学教案-----

　　: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

　　nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

　　nn10s(x)dx0(n1)xdx

　　nn1xxx

　　n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

　　2s(x)[ 0s(x)dx]

　　xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

　　nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

　　n1n1

　　-----高等数学教案-----

　　2xxx 2(1x)1xx

　　.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

　　nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

　　nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

　　-----高等数学教案-----

　　3x2x2(1x)2

　　(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

　　1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

　　(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

　　2!f(x0)n(xx0)

　　n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

　　如果泰勒级数收敛于f(x)，则

　　-----高等数学教案-----