从被开方数入手
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
二次根式中被开方数的非负性，时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。从被开方数入手，将会使很多问题迎刃而解。
一、确定二次根式有意义
例1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
B. C.
D.
分析：二次根式的两个基本特征是①带二次根号“
”，②被开方数必为非负数。A中被开方数为负数；B中不带“”，而是“
”；D中被开方数的正负无法确定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数
”，②被开方数必为非负数。A中被开方数为负数；B中不带“”，而是“”；D中被开方数的正负无法确定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数
恒大于0，且带“”，故选（C）。
例2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
⑴
⑵
⑶
⑷
⑵ ⑶ ⑷
分析：使二次根式在实数范围内有意义，必有被开方数大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能为0。
解：⑴由2－ｘ≥０，ｘ－１≥０，∴１≤ｘ≤２，∴当１≤ｘ≤２时，⑴式有意义；
⑵由2x—1＞0 （∵分母2x—1≠0）∴x＞
， ∴当x＞时，⑵式有意义；
， ∴当x＞时，⑵式有意义；⑶由x—1≥0，x—2≠0，∴x≥1且x≠2 ，∴当x≥1且x≠2时，⑶式有意义；
⑷由于( x—3)
≥0，∴x取任何实数时，⑷式都有意义。
≥0，∴x取任何实数时，⑷式都有意义。二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值
例3.已知y=
，求（xy—64）的算术平方根。
，求（xy—64）的算术平方根。分析：由被开方数x—7，7—x互为相反数，且均需满足被开方数大于等于0。故x—7=7—x=0，由此求出x、y。
解：由
∴x—7＝7—x＝0 得x=7，∴y＝9
∴x—7＝7—x＝0 得x=7，∴y＝9∴
＝
＝＝1
＝＝＝1例4.设等式
在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式
的值。
在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式的值。解：由m≠x≠y，∴x—m≠0， y—m≠0
又被开方数 x—m≥0 ， m—y≥0即y—m≤0
即有x—m＞0，y—m＜0
而被开方数
∴
∴
∴m＝0
将m=0代入等式，得
∴x＝－y＞0
∴x＝－y＞0∴＝
＝
＝
＝＝＝下面两道练习题，同学们不妨试试。
1.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
⑴
⑵
⑶ 
⑷
⑵ ⑶ ⑷2.若y=
，试求（4x－2y）
的值。
（发表于《小博士报·中学辅导》2006年10月23日）
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