从被开方数入手
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
二次根式中被开方数的非负性,时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。从被开方数入手,将会使很多问题迎刃而解。
一、确定二次根式有意义
例1.下列各式中一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.




分析:二次根式的两个基本特征是①带二次根号“
”,②被开方数必为非负数。A中被开方数为负数;B中不带“
”,而是“
”;D中被开方数的正负无法确定;所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数





例2.x取何值时,下列各式在实数范围内有意义。
⑴
⑵
⑶
⑷




分析:使二次根式在实数范围内有意义,必有被开方数大于等于0。如果式子中含有分母,分母不能为0。
解:⑴由2-x≥0,x-1≥0,∴1≤x≤2,∴当1≤x≤2时,⑴式有意义;
⑵由2x—1>0 (∵分母2x—1≠0)∴x>
, ∴当x>
时,⑵式有意义;


⑶由x—1≥0,x—2≠0,∴x≥1且x≠2 ,∴当x≥1且x≠2时,⑶式有意义;
⑷由于( x—3)
≥0,∴x取任何实数时,⑷式都有意义。

二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值
例3.已知y=
,求(xy—64)
的算术平方根。


分析:由被开方数x—7,7—x互为相反数,且均需满足被开方数大于等于0。故x—7=7—x=0,由此求出x、y。
解:由
∴x—7=7—x=0 得x=7,∴y=9

∴
=
=
=1



例4.设等式
在实数范围内成立。其中,m、x、y是互不相等的三个实数,求代数式
的值。


解:由m≠x≠y,∴x—m≠0, y—m≠0
又被开方数 x—m≥0 , m—y≥0即y—m≤0
即有x—m>0,y—m<0
而被开方数
∴


将m=0代入等式,得
∴x=-y>0

∴
=
=
=




下面两道练习题,同学们不妨试试。
1.x取何值时,下列各式在实数范围内有意义。
⑴
⑵
⑶
⑷




2.若y=


(发表于《小博士报·中学辅导》2006年10月23日)
中考政策 | 中考状元 | 中考饮食 | 中考备考辅导 | 中考复习资料 |