妙用平方差公式巧解题
用平方差公式能迅速准确地算出复杂难算题的答案，现用下列例题揭示利用平方差公式解答计算题的方法和技巧，希望对大家能有所启发和帮助。
例1 已知：a+3b=-2,求a
+2a-6b-9b的值。
+2a-6b-9b的值。解：a+2a-6b-9b＝a-9b+2a-6b＝（a-9b）+（2a-6b）＝（a+3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2)=(a-3b)(-2+2)=0。
+2a-6b-9b＝a-9b+2a-6b＝（a-9b）+（2a-6b）＝（a+3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2)=(a-3b)(-2+2)=0。如果在解题前不认真分析，不对算式进行科学组合，就很难找到用平方差公式和提取公因式解题的突破口，可见：解题前的观察分析对解题非常重要。
例2 计算
。
。解：分子＝2001
－2
2001－1999＝2001－22001－2001+2＝2001（2001－2）－（2001－2）＝（2001－2）（2001－1），
－22001－1999＝2001－22001－2001+2＝2001（2001－2）－（2001－2）＝（2001－2）（2001－1），分母＝2001+2001－2002＝2001+2001－2001－1＝2001（2001+1）－（2001+1）＝（2001+1）（2001－1）。
+2001－2002＝2001+2001－2001－1＝2001（2001+1）－（2001+1）＝（2001+1）（2001－1）。所以就有：＝
＝
＝
。
＝＝＝。如果在解题前不对算式进行认真仔细地观察，就很难发现“1999＝2001－2，2002＝2001+1”，就更难发现分子中的公因式是“2001－2”，分母中的公因式是“2001+1”，“2001”是分子和分母中共同的公因式，由于找到了分子和分母中的公因式，才利用提取公因式法和平方差公式顺利的得出了此题的准确答案。
”是分子和分母中共同的公因式，由于找到了分子和分母中的公因式，才利用提取公因式法和平方差公式顺利的得出了此题的准确答案。例3 计算（2+1）（2+1）（2
+1）（2
+1）。
+1）（2+1）（2+1）。解法1：（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）
（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2－1）＝（2
－1）（2－1）＝2－1＝65535，
+1）（2+1）（2+1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2+1）（2－1）＝（2－1）（2－1）＝2－1＝65535，因为：2＝22＝256256＝65536，2－1＝65536－1＝65535，
＝22＝256256＝65536，2－1＝65536－1＝65535，解法2：2＝22＝4，2＝22＝44＝16，2＝22＝1616＝256，
＝22＝4，2＝22＝44＝16，2＝22＝1616＝256，所以（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）＝3517257＝65535。
+1）（2+1）（2+1）＝3517257＝65535。解法1的解题者，由于在解题前认真观察分析清楚了算式中的数据规律，先给算式乘以（2－1），后给算式除以（2－1），虽然没有改变算式的值，但乘在算式前面的（2—1）和（2+1）却构成了平方差公式，这样由前向后逐个处理，就可顺利得到命题者所要的准确结果“2－1”，在算式最后除以“2－1”，实质是除以1，足见解法1中的解题者是多么的聪明。
－1”，在算式最后除以“2－1”，实质是除以1，足见解法1中的解题者是多么的聪明。解法2虽然一气呵成，直接算出了本题的准确答案。但却没有达到编者的意图，如果在计算过程中稍有不慎，就会得出错误的结果。其实本题命题者的本意是考查学生运用平方差公式解题的本领，只要解题者解出“2－1”就行，而并不是要求解题者能算出“65535”。因为该题面向的是八年级学生。
－1”就行，而并不是要求解题者能算出“65535”。因为该题面向的是八年级学生。例4 计算100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1。
－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1。解：100－99＝（100+99）（100－99）＝199，
－99＝（100+99）（100－99）＝199，98－97＝（98+97）（98－97）＝195，
－97＝（98+97）（98－97）＝195，96－95＝（96+95）（96－95）＝191，
－95＝（96+95）（96－95）＝191，94－93＝（94+93）（94－93）＝187，
－93＝（94+93）（94－93）＝187，92－91＝（92+91）（92－91）＝183，
－91＝（92+91）（92－91）＝183，10－9＝（10+9）（10－9）＝19，
－9＝（10+9）（10－9）＝19，8－7＝（8+7）（8－7）＝15，
－7＝（8+7）（8－7）＝15，6－5＝（6+5）（6－5）＝11，
－5＝（6+5）（6－5）＝11，4－3＝（4+3）（4－3）＝7，
－3＝（4+3）（4－3）＝7，2－1＝（2+1）（2－1）＝3。
－1＝（2+1）（2－1）＝3。观察上述用平方差公式算得的结果可得，199－4＝195，195－4＝191，191－4＝187，15－4＝11，11－4＝7，7－4＝3.。这样就有：
100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3。
－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3。观察“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”可发现：“199+3＝202，195+7＝202，191+11＝202，187+15＝202，183+19＝202”。只要能探究明白“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中能加成多少个202，问题就会很快解决。只好用下述列表的方法探究“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中究竟能加成多少个202：
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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18
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19
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20
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21
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22
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23
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24
|
25
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199
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195
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191
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187
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183
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197
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175
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171
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167
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163
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159
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155
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151
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147
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143
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139
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135
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131
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127
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123
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119
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115
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111
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107
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103
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3
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7
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11
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15
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19
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23
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27
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31
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35
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39
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43
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47
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51
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55
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59
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63
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67
|
71
|
75
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79
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83
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87
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91
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95
|
99
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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202
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由上表可以看出“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中的数据，共能加出25个202，20225＝5050。
25＝5050。所以就有：
100－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1
－99+98－97+96－95+…+6－5+4－3+2－1＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3
＝20225
25＝5050。
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已知6x－9x+mx+n能被6x-x+4整除，求m和n的值。
－9x+mx+n能被6x-x+4整除，求m和n的值。解：这是一道初中学生还没有学的多项式相除问题，具体解法如下：
由上述计算结果可得：
（m－4)x－
x=0，
x=0，m－4－＝0，
＝0，m－
＝0，
＝0，m==
，
=，n－（－）＝0，
）＝0，n+＝0，
＝0，n=－=－，
=－，您还有比这更妙的解法吗？请赐教！
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