应用根与系数关系莫忘判别式
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。
例1 已知x
、x
是方程2x
－2x+1－3m=0的两个实数根，且xx+2（ x+x）＞0，那么实数m的取值范围是 。
解析：⑴方程有两个实数根，则（-2）－4×2（1－3m）≥0，∴m≥
－4×2（1－3m）≥0，∴m≥⑵由韦达定理x+x=1，xx
+x=1，xx=
，又xx+2（ x+x）＞0
即有+2＞0 ∴m＜
+2＞0 ∴m＜
∴实数m的取值范围是≤m≤
点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。
例2 若关于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x
+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判断（a+b）≤4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。
解析：⑴由x（ x+1）+ x（x
（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1）， 变形得：
（x+x）－3 xx
+x）－3 xx－1=0 由韦达定理有x+x=－（a+b），xx=
ab
即有（a+b）－4ab－1=0 ∴（a+b）=4ab+1
－4ab－1=0 ∴（a+b）=4ab+1⑵方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b）－48ab≥0，∴（a+b）≥
ab
－48ab≥0，∴（a+b）≥ab∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3 ∴（a+b）=4ab+1≤4。
ab，可得4ab≤3 ∴（a+b）=4ab+1≤4。点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。
例3 设x、x是方程2x
、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小值。
解析：⑴由根的判别式16 m－8（2m+3m－2）≥0， ∴m≤
－8（2m+3m－2）≥0， ∴m≤⑵由韦达定理有x+x=2m，xx
+x=2m，xx=
设y= x+x=（x+x
+x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）
=2 m
－3m+2=2（m－
）+
y关于m的二次函数对称轴m=，m≤＜
，m≤＜时，y随m的增大而减小
∴m=时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（
时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（－）+=
点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。
练习：
1．若关于x的方程2x－2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数m的取值范围是（ ）。
－2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数m的取值范围是（ ）。A．m＞
； B。m≤
； C。m＜； D。＜m≤
； B。m≤； C。m＜； D。＜m≤2．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x
－12x+m=0的两根，则m的取值范围是 。
（1．参考答案：B；2．点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得
＜m≤18）
＜m≤18）作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
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