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2013中考数学备考:直线与圆

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2012-07-27 09:02

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证明直线与圆相切主要有以下两种方法:

一、根据切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

当已知直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可。

1. (2004年江苏省淮安市中考题)

已知:如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D,交BC于点G。

1

1)连结CD,若AG=4,DG=2,求CD的长;(解略)

2)过点D作EF∥BC,分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证:EF与⊙O相切。

证明:(2)连结OD,由∠1=∠2,

,则OD⊥BC

所以

因为EF∥BC,所以∠BCD=∠CDF

从而

EF⊥OD,所以EF与⊙O相切。

2. (2002年湖北省黄冈市中考题)

如图2,BE是⊙O的直径,点A在BE的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连结OD,且∠AOD=∠APC。

1)求证:AP是⊙O的切线。

2)略。

2

证明:连结OP,因为PD⊥BE,OP=OD

所以∠POB=∠DOB,而∠APD=∠DOB

所以∠POB=∠APD

PD⊥BE得:∠POB+∠OPC=90°

即∠APD+∠OPC=90°

所以AP是⊙O的切线

二、根据直线与圆的位置关系

若圆心到直线的距离等于圆的半径,则直线与圆相切。

当题设中不能肯定直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段,只要设法证明垂线段等于半径即可。

3. (2003年甘肃省中考题)

如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心、r为半径作圆,当r=2.4时,AB与圆有怎样的位置关系?为什么?

3

解:作CD⊥AB,垂足为D,则

CD·AB=AC·BC得:

AB与圆相切。

4. 如图4,AB是⊙O的直径,AC⊥l,BD⊥l,C、D为垂足,且AC+BD=AB,求证:直线l与⊙O相切。

4

证明:过O作OE⊥l,E为垂足,则

OE∥AC∥BD,又AO=BO

所以

,则

即垂线段OE等于圆的半径,所以直线l是⊙O的切线。 


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