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余弦定理公式什么时候学的推导过程有哪些

11-23

标签： 余弦定理 余弦定理的公式是什么 怎么推导出余弦定理的公式

　

　　余弦定理是数学中一个重要的知识点，在考试中经常出现相关考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“余弦定理公式什么时候学的推导过程有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　余弦定理公式什么时候学的?

　　余弦定理是在高中数学必修五中学习的。

　　余弦定理公式的推导过程

　　1、平面三角形证法

　　在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB

　　在Rt△ACD中，

　　b²=AD²+DC²=(c*sinB)²+(a-c*cosB)²

　　=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B

　　=c²(sin²B+cos²B)+a²-2ac*cosB

　　=c²+a²-2ac*cosB

　　2、平面向量证法

　　有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)

　　又∵cos(π-θ)=-cosθ(诱导公式)

　　∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ

　　此即c²=a²+b²-2abcosC

　　即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

　　拓展阅读：余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：

　　a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

　　b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

　　c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

　　cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

　　cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

　　cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

　　第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

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与余弦定理相关的实用资料

余弦定理公式推导过程

08-06

标签： 余弦定理公式 余弦定理公式推导 定理公式推导过程

　

　　余弦定理公式是高中数学重点公式之一，那么余弦定理公式推导过程是什么呢?下面是由出国留学网小编为大家整理的“ 余弦定理公式推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　余弦定理公式推导过程

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC2=AD2+DC2

　　b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2，

　　b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2，

　　b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2，

　　b2=c2+a2-2accosB，

　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac。

　　拓展阅读：余弦定理的定义和常见变形

　　1.余弦定理

　　三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=a2=b2+b2+c2−c2−2bccosA2bccos⁡A，b2=b2=c2+c2+a2−a2−2cacosB2cacos⁡B，c2=c2=a2+a2+b2−b2−2abcosC2abcos⁡C，

　　2.余弦定理的常见变形

　　(1)cosA=b2+c2−a22bccos⁡A=b2+c2−a22bc;

　　(2)cosB=a2+c2−b22accos⁡B=a2+c2−b22ac;

　　(3)cosC=a2+b2−c22abcos⁡C=a2+b2−c22ab。

　　3.利用余弦定理可以解决的问题

　　(1)已知三边，求各角;

　　(2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角;

　　(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边。

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与余弦定理相关的实用资料

三角函数正余弦定理公式大全

03-27

标签： 三角函数 正余弦定理 三角函数公式大全

　

　　高中数学定理公式非常多，所以一定需要总结归纳。为了让同学们对三角函数有个更深的记忆。下面是由出国留学网小编为大家整理的“三角函数正余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　三角函数余弦定理公式大全

　　余弦定理

　　对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

　　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA

　　b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB

　　c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC

　　也可表示为：

　　cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2ab

　　cosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2ac

　　cosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc

　　这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

　　如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

　　延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

　　三角函数正弦定理公式

　　正弦定理

　　对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有：

　　sinA / a = sinB / b = sinC/c

　　也可表示为：

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

　　其中R是三角形的外接圆半径。

　　它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过 A, B和 C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。

　　上面的推论是三角测量中常见情况，也是很容易就掌握的要领。

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三角形余弦定理公式大全

03-26

标签： 三角形 余弦定理 三角形公式大全

　

　　高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由出国留学网小编为大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　三角形余弦定理公式大全

　　余弦定理(第二余弦定理)

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

　　直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

　　编辑本段

　　余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质--

　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

　　(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

　　第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

　　编辑本段

　　余弦定理证明

　　平面向量证法

　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵cos(π-θ)=-Cosθ

　　∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

　　即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得:

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

　　b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*...

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高中数学三角形余弦定理及公式

09-24

标签： 三角形余弦定理 高中数学三角形余弦定理 三角形余弦定理及公式

　

　　知识就是力量，下面由出国留学网小编为你精心准备了“高中数学三角形余弦定理及公式＂，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！

　　高中数学三角形余弦定理及公式

　　一、什么是三角形余弦定理

　　三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

　　二、三角形余弦定理的公式

　　对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

　　a²=b²+c²-bc·cosA

　　b²=a²+c²-ac·cosB

　　c²=a²+b²-ab·cosC

　　也可表示为：

　　cosC=（a²+b²-c²）/ab

　　cosB=（a²+c²-b²）/ac

　　cosA=（c²+b²-a²）/bc

　　这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

　　如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。

　　三、三角形余弦定理的证明

　　平面向量证法（觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理）∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

　　∴c·c=（a+b）·（a+b）

　　∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos（π-θ）

　　（以上粗体字符表示向量）

　　又∵Cos（π-θ）=-Cosθ

　　∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

　　再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC

　　即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC²=AD²+DC²

　　b²=（sinBc）²+（a-cosBc）²

　　b²=（sinB*c）²+a²-2accosB+（cosB）²c²

　　b²=（sinB2+cosB2）c²-2accosB+a²

　　b²=c²+a²-2accosB

　　cosB=（c²+a²-b²）/2ac

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高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案

12-08

标签： 高中数学必修5教案 正弦定理和余弦定理教案 高二数学

　

　　高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】

　　教学准备

　　教学目标

　　进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

　　教学重难点

　　教学重点：熟练运用定理.

　　教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

　　教学过程

　　一、复习准备：

　　1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

　　2. 讨论各公式所求解的三角形类型.

　　二、讲授新课：

　　1. 教学三角形的解的讨论：

　　① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

　　分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?

　　②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)

　　② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

　　2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：liuxue86.com

　　① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.

　　分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.

　　② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.

　　分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断

　　③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

　　分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?

　　3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.

　　三、巩固练习：

　　3. 作业：教材P11 B组1、2题.

　　高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】

　　一)教材分析

　　(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

　　(2)重点、难点。

　　重点：正余弦定理的证明和应用

　　难点：利用向量知识证明定理

　　(二)教学目标

　　(1)知识目标：

　　①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;

　　②能够运用正余弦定理解三角形;

　　③了解向量知识的应用。

　　(2)能力目标：提高学生分析问题、解决问题的能力。

　　(3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培养学生的学习数学的兴趣。

　　(三)教学过程

　　教师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发现，自主探究。使学生的综合能力得到提高。

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