北京朝阳区2012高三综合练习数学（理）试题参考

北京市朝阳区2012届三年级第二次综合练习（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集，集合，，则= A． B． C． D． 2．复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限 3．已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D． 4．在△中， ，，，且△的面积为，则等于 A．或 B． C． D．或 5．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有 A．个 B．个 C．个 D．无数个6．下列命题：函数的最小正周期是；已知向量，，，则的充要条件是； 若（），则．其中所有的真命题是 A． B． C． D． 7．直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是 A． B． C． D．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．二项式展开式中的常数项为，则实数=_______． 10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______． 11．若实数满足则的最小值是 ． 12．如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接并延长交圆于．若，则_______， _________． 13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为（）件．当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入年总投资） 14．在给出的数表中，第行第列的数记为，且满足，，则此数表中的第5行第3列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22， 为数列，则数列的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，．若，求的取值范围． 16．（本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望． 17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，．（Ⅰ）若点在线段上，且满足, 求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值． 18．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：． 19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，．若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知数列满足，且当时， ，令．（Ⅰ）写出的所有可能的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由． 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C B D A D 二、填空题： 9. 10. 13 11. 12. ， 13. 16 14. 16，三、解答题： 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由．……3分在函数的图象上，所以，解得. ……5分，所以=2，所以，即. ……7分，所以，所以. ……8分，所以，. ……10分， ，所以.…12分的取值范围是. ……13分 解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则 . 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为.…4分 . 答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为. ……8分 X的取值为2,3,,5. ， ，， . ……11分 X的分布列为 X 2 3 4 5 P X的数学期望. ……13分 证明：（Ⅰ）过作于，连结，则，又，所以. 又且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面……4分平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得 . 显然. 则，所以. 即，故平面. （Ⅲ），所以与确定平面，由已知得，，. ……9分平面，所以. 由已知可得且，所以平面，故是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量是. 由得 即令，则. 所以. 由题意知二面角锐角，故二面角的余弦值为. ……14分 解：（I）. . 根据题意，有，所以，解得或. ……3分（II）（1）当时，因为，由得，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递增在上单调递减. 时，因为，由得 ，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递减在上单调递增.……9分（III）（Ⅱ）时，函数的最小值为，且. ，令，得. 当变化时，的变化情况如下表： 0 － 极大值 是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点. 所以 . 所以，当时，成立. ……14分 解：（Ⅰ）设动点的坐标为，依题意可知，整理得. 所以动点的轨迹的方程为. ………5分（II）的的纵坐标. ………6分的设直线的方程为. 将代入得 . . 设，，则， . 设的中点为，则，， . ………9分，直线的垂直平分线的方程为. 令解得 . .………10分当时，因为，所以；当时，因为，所以. .………1分综上点纵坐标的取值范围是. .………13分 解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：（1）此时；（2）此时；（3）此时；（4）此时；（5）此时；（6）此时；所以，的所有可能值为：，，，，． ……4分，可设，则或（，），因为，所以 ．因为，所以，且为奇数，是由个1和个构成的数列所以．则当的前项取，后项取时最大，此时．证明如下：假设的前项中恰有项取，则的后项中恰有项取，其中，，，．所以 ．所以的最大值为． ……9分的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得． ……13分 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！ D E A B F C （第10题图） y y = z 输出z z=x+y 否 是 结束 开始 z≤10 x=1,y=1,z=2 O 第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … … E C B D M A F E D C M A F B N x z E C B D M A F y